a) Xác định tổng các gốc thực của phương trình $$
x^{2}+18 x+30=2 \cdot \sqrt{x^{2}+18 x+45}
$$
b) Giải phương trình $\sqrt{5-\sqrt{5-x}}=x$, với $0\lt x\lt 5$.
Giữa $1$ và $2$ - Hoàn thành các tử số với số nguyên dương để thỏa mãn các điều kiện: $\frac{a}{5}$ và $\frac{b}{7}$ nhỏ hơn $1$ và $1 \lt \frac{a}{5} + \frac{b}{7} \lt 2$.
Pedrinho đã chọn 8 số khác nhau từ 1 đến 11 và viết chúng theo một thứ tự nhất định. Joãozinho, nhìn thấy những con số mà Pedrinho đã viết, nhận thấy sự thật tò mò sau đây: Nếu chúng tôi trung bình $n$ Những con số đầu tiên được viết bởi Pedrinho, $n=1, \ldots, 8$, kết quả là chúng tôi sẽ luôn có một số nguyên. Đó là, nếu chúng ta tính trung bình hai số đầu tiên, ba số đầu tiên, bốn số đầu tiên, v.v., tất cả các giá trị trung bình này sẽ là số nguyên. Các dãy số có thể có của Pedrinho đã viết là gì? (Mẹo: Đầu tiên hãy tìm ra tổng số tiền có thể có của 8 số, sau đó cố gắng tìm ra các số đã chọn ngược lại.)
Một tuyến tàu được chia thành 10 đoạn theo ga $A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ và $K$. Khoảng cách từ $A$ đến $K$ bằng $56~\mathrm{km}$. Đường đi của hai đoạn liên tiếp luôn nhỏ hơn hoặc bằng $12~\mathrm{km}$ và đường đi của ba đoạn liên tiếp luôn lớn hơn hoặc bằng $17~\mathrm{km}$. Xác định khoảng cách:
a) từ $J$ đến $K$;
b) từ $D$ đến $H$;
c) từ $B$ đến $G$.
Số $119$ rất thú vị vì nó để lại phần còn lại $1$ khi chia cho $2$, nó để lại phần còn lại $2$ khi chia cho $3$, Nó vẫn còn lại $3$ khi chia cho $4$, lá nghỉ ngơi $4$ khi chia cho $5$ và cuối cùng để lại $5$ khi chia cho $6$. Có các số có ba chữ số khác với các thuộc tính này không?
Một hình bán nguyệt có đường kính $E F$, nằm ở mặt bên $B C$ của tam giác $A B C$, là tiếp tuyến với các cạnh $A B$ và $A C$ lần lượt trong $Q$ và $P$. Các dòng $E P$ và $F Q$ nằm ở $H$. Chứng tỏ $A H$ là chiều cao của tam giác.
Consruímos dois triângulos equiláteros: $ABE$ interno e $BFC$ externo ao quadrado $ABCD$. Chứng minh que os pontos $D$, $E$ e $F$ SE localizam na mesma reta.
Diện tích tam giác - Nếu $AC = 1{,}5\ \mathrm{cm}$ và $AD = 4\ \mathrm{cm}$, thì mối quan hệ giữa các khu vực của tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle DBC$ là gì?
Chúng ta nói rằng một số nguyên dương ba chữ số là ba sao nếu nó là kết quả của tích của ba số nguyên tố riêng biệt. Ví dụ, $286=2 \cdot 11 \cdot 13$ là số ba sao, nhưng $30=2 \cdot 3 \cdot 5$ và $275=5 \cdot 5 \cdot 13$ không phải là số ba sao, vì chữ số đầu tiên chỉ có hai chữ số và chữ số thứ hai không phải là tích của ba số nguyên tố riêng biệt.
a) Số ba sao nhỏ nhất là gì?
b) cho thấy mỗi số ba sao có một dải chia chung với $30$ lớn hơn $1$.
João có các nút ba màu: xanh, trắng và xám. Chúng tôi sẽ đại diện cho một nút màu xanh lam của $A$, một nút màu trắng của $B$ và một nút màu xám của $C$. Nó đặt năm nút trên các đỉnh của hình ngũ giác thông thường theo chiều kim đồng hồ: $A, C, B, C$ và $B$, như trong hình đầu tiên bên dưới. Anh ta biết anh ta có thể thực hiện một số thay đổi nút bằng cách tuân theo một quy tắc nhất định. Khi chọn một nút, nó có thể đổi nó cho một trong những màu khác miễn là không có hai nút có cùng màu trong các đỉnh lân cận. Để không thay đổi các nút mà không có mục tiêu, anh ta quyết định áp dụng mục tiêu để lại các nút với các màu $A, B, C, B$ và $C$ theo chiều kim đồng hồ như được chỉ ra trong hình thứ hai bên dưới. Sau khi thực hiện một số thay đổi, João đã không thể đạt được tình huống cuối cùng mong muốn. Sau đó, anh quyết định nhờ giáo viên của mình giúp đỡ từ Piraldo. Giáo viên nói rằng không thể bắt đầu từ cấu hình ban đầu và đạt được cấu hình cuối cùng mong muốn. Để chứng minh điều này, Giáo sư Piraldo đã lấy một số thẻ với các số $1,-1$ và 0. Sau đó, anh ta bảo John đặt một thẻ ở mỗi bên của hình ngũ giác với mẫu sau: i) Nhìn theo chiều kim đồng hồ, nếu các đỉnh có $B$ và $A$ hoặc có $A$ và $C$ Đặt một thẻ có số 1. ii) Vẫn nhìn theo chiều kim đồng hồ, nếu các đỉnh có $A$ và $B$ hoặc có $C$ và $A$, hãy đặt một chữ cái có số -1. iii) Đối với các trường hợp khác, đặt chữ cái 0. Bất cứ khi nào bạn thực hiện một cuộc trao đổi, hãy thay đổi các thẻ bằng cách sử dụng các hướng dẫn này. Sau khi giải thích, Giáo sư Piraldo cho rằng việc phân tích hành vi của các bức thư João bây giờ có thể kết luận vì không thể đạt được mục tiêu ban đầu.
a) thực hiện tất cả các thay đổi nút có thể, từ $A$ đến $B$, từ $B$ đến $C$ hoặc $C$ Đối với $A$ và trao đổi ngược, điều gì xảy ra với tổng số thẻ được đặt ở hai bên theo hướng dẫn của Giáo sư Piraldo?
b) Tổng số của các thẻ trong tình huống ban đầu và tình huống cuối cùng mong muốn là bao nhiêu? Hoàn thành rằng không thể bắt đầu từ cấu hình ban đầu và đạt được tình huống cuối cùng mong muốn.
Hai hình vuông - số đo bằng cm của các cạnh của mỗi hình vuông là số nguyên. Nếu hình vuông nhỏ nhất có $2001~\mathrm{cm}^2$ nhiều hơn diện tích thì hai hình vuông sẽ bằng nhau. Cạnh của hình vuông lớn nhất có thể đo được bao nhiêu?
Trong tam giác $ABC$, góc $A\hat{BC}$ đo $20^\circ$ và góc $A\hat{C}B$ đo $40^\circ$. Cho $E$ là một dấu chấm về $BC$ sao cho $BE = BA$.
a. cho thấy tam giác $CEA$ là isosceles.
b. Biết rằng chiều dài phân giác góc $B\hat{A}C$ là $2$, xác định $BC - AB$.
Trong game - Aldo, Bernardo và Carlos chơi bài. Lúc đầu, số tiền họ có theo tỷ lệ $7:6:5$. Vào cuối trò chơi, tỷ lệ là $6:5:4$. Một trong những người chơi đã giành được 1200 reais. Mỗi người chơi đã nhận được bao nhiêu tiền vào cuối trận đấu?
Một số số thực được viết trong nhà của bảng $n \times n$ để tổng số của các số được viết là dương. Chứng minh rằng có một số hoán vị của các cột của bảng, do đó tổng của các số được ghi trong các ngôi nhà của đường chéo chính của bảng mới là dương.
Xác định số nguyên gần nhất với
a. $\frac{19}{15}+\frac{19}{3}$
b. $\frac{85}{42}+\frac{43}{21}+\frac{29}{14}+\frac{15}{7}$
c. $-\frac{11}{10}-\frac{1}{2}-\frac{7}{5}+\frac{2}{3}$
Sau khi thực hiện một số thay đổi, João đã không thể đạt được tình huống cuối cùng mong muốn. Sau đó, anh quyết định nhờ giáo viên của mình giúp đỡ từ Piraldo. Giáo viên nói rằng không thể bắt đầu từ cấu hình ban đầu và đạt được cấu hình cuối cùng mong muốn. Để chứng minh điều này, Giáo sư Piraldo đã lấy một số thẻ với các số $1,-1$ và 0. Sau đó, anh ta bảo John đặt một thẻ ở mỗi bên của hình ngũ giác với mẫu sau: i) Nhìn theo chiều kim đồng hồ, nếu các đỉnh có $B$ và $A$ hoặc có $A$ và $C$ Đặt một thẻ có số 1. ii) Vẫn nhìn theo chiều kim đồng hồ, nếu các đỉnh có $A$ và $B$ hoặc có $C$ và $A$, hãy đặt một chữ cái có số -1. iii) Đối với các trường hợp khác, đặt chữ cái 0. Bất cứ khi nào bạn thực hiện một cuộc trao đổi, hãy thay đổi các thẻ bằng cách sử dụng các hướng dẫn này. Sau khi giải thích, Giáo sư Piraldo cho rằng việc phân tích hành vi của các bức thư João bây giờ có thể kết luận vì không thể đạt được mục tiêu ban đầu. 