Cho số nguyên $n \ge 3$. Ta nói ma trận $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ có tính chất $(\mathcal{P})$ nếu $\det(A+X_{ij})=\det(A+X_{ji})$ với mọi $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$, trong đó $X_{ij}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ là ma trận có phần tử $1$ ở vị trí $(i,j)$ và $0$ ở mọi vị trí khác.
a) Giả sử $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ có tính chất $(\mathcal{P})$ và $\det(A)\ne0$. Chứng minh rằng $A=A^T$.
b) Hãy cho một ví dụ về ma trận $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ có tính chất $(\mathcal{P})$ nhưng $A\ne A^T$.
Cho $n,m$ là các số nguyên dương sao cho $n+m$ lẻ. Giả sử các cạnh của đồ thị hai phía đầy đủ $K_{n,m}$ được gán nhãn $1$ hoặc $-1$ và tổng các nhãn trên tất cả các cạnh bằng $0$. Chứng minh rằng đồ thị có một cây khung mà tổng các nhãn trên các cạnh của cây bằng $0$.
*Một cây khung là cây con chứa tất cả các đỉnh của đồ thị.*
Cho số tự nhiên $n\ge3$ và một họ $\mathcal F$ gồm không quá $n$ tập con phân biệt của $\{1,2,\ldots,n\}$. Giả sử có thể lấy $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng, đánh số $1,2,\ldots,n$, rồi nối một số cặp điểm bằng đoạn thẳng sao cho với mọi hai số phân biệt $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$, hai điểm mang nhãn $i$ và $j$ được nối với nhau khi và chỉ khi số $i$ thuộc đúng $j$ tập trong $\mathcal F$. Tìm giá trị lớn nhất của tổng số phần tử của các tập trong $\mathcal F$.
Cho số nguyên $n\ge2$ và các số phức $a,b$ sao cho $a\ne0$ và $b^k\ne1$ với mọi $k\in\{1,2,\ldots,n\}$. Giả sử các ma trận $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ thỏa
$$
BA=aI_n+bAB.
$$
Chứng minh rằng $A$ và $B$ đều khả nghịch.
Gán cho các chữ số $A,B,C$ ba giá trị phân biệt trong $\{1,2,\ldots,9\}$ sao cho
$$
2024\cdot AB\cdot CC\cdot BA
$$
là một số chính phương. Biểu thức $A+B+C$ có thể nhận bao nhiêu giá trị phân biệt?
Tìm tất cả các số nguyên $n\ge2$ có tính chất sau: có thể tô màu các ô của bảng $n\times n$ bằng một số màu sao cho mỗi ô $C$ có đúng hai ô kề cùng màu với $C$. Hai ô được gọi là kề nhau nếu có chung một cạnh.
Gọi $A_n$ là số tập con của $\{1,2,\ldots,n\}$ không chứa hai phần tử hơn kém nhau $1$, và gọi $B_n$ là số tập con không chứa hai phần tử hơn kém nhau $2$. Chứng minh rằng
$$
A_{2025}\lt B_{1013}^2.
$$
Chọn điểm $E$ trên cạnh $AB$ của hình chữ nhật $ABCD$ ($E\ne A,B$). Hai đoạn thẳng $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $F$. Trong năm tam giác $ADE,DEF,DCF,BCF,BEF$ có đúng hai cặp tam giác có diện tích bằng nhau (không xét thứ tự trong mỗi cặp). Tìm tỉ số $\dfrac{EB}{AB}$.
Xét một dãy số nguyên $a_1,a_2,a_3,\ldots$ sao cho $a_1\gt 1$ và $(2^{a_n}-1)a_{n+1}$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$. Có thể xảy ra hai số hạng của dãy bằng nhau hay không?
Alexia có một số viên bi, còn bạn Cristina không có viên nào. Trong bảy ngày từ thứ Hai đến Chủ nhật, mỗi ngày Alexia cho Cristina một số viên bi và số bi cho mỗi ngày nhiều hơn ngày trước. Thứ Hai Alexia cho số bi bằng một phần năm số bi thứ Sáu; thứ Ba bằng một phần sáu số bi thứ Bảy; thứ Tư bằng một phần bảy số bi Chủ nhật. Cuối tuần Cristina nhận tổng cộng $72$ viên bi. Hỏi thứ Năm Cristina nhận bao nhiêu viên?
a) Chứng minh rằng nếu vành $(A,+,\cdot)$ có tính chất (P), và $a,b$ là hai phần tử phân biệt của $A$ sao cho $a$ và $a+b$ khả nghịch, thì $b$ không khả nghịch nhưng $1+ab$ khả nghịch.
b) Hãy cho một ví dụ về vành có đơn vị thỏa (P).
Trong đó tính chất (P) là
$$
(P)\quad\left\{\begin{array}{l}
A\text{ có ít nhất }4\text{ phần tử},\\
1+1\text{ khả nghịch trong }A,\\
x+x^4=x^2+x^3\text{ với mọi }x\in A.
\end{array}\right.
$$
Ký hiệu $\mathbb Z$ là tập số nguyên và $S\subset\mathbb Z$ là tập các số nguyên không nhỏ hơn $10^{100}$. Cố định một số nguyên dương $c$. Tìm tất cả các hàm $f:S\to\mathbb Z$ thỏa
$$
f(xy+c)=f(x)+f(y)
$$
với mọi $x,y\in S$.
Cho lục giác lồi $ABCDEF$ thỏa $\angle A=\angle C=\angle E$ và $\angle B=\angle D=\angle F$. Giả sử có điểm $P$ nằm trong lục giác và cách đều ba đường thẳng chứa các cạnh $AB,CD,EF$. Gọi $G_1\ne G_2$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ACE$ và $BDF$. Chứng minh rằng
$$
\angle G_1PG_2=60^\circ.
$$
Ta gọi số tự nhiên $n\ge3$ là *gần như không chứa bình phương* nếu tồn tại số nguyên tố $p\equiv1\pmod3$ sao cho $p^2\mid n$ và $n/p$ không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào.
Chứng minh rằng với mọi số $n$ gần như không chứa bình phương, tỉ số giữa hai lần tổng các ước của $n$ và số lượng ước của $n$ là một số tự nhiên.
Cho hàm khả vi $f:[0,1]\to\mathbb R$, có đạo hàm khả tích trên $[0,1]$, và $f(1)=0$. Chứng minh rằng
$$
\int_0^1(xf'(x))^2\,dx\ge12\left(\int_0^1xf(x)\,dx\right)^2.
$$
Cho dãy số nguyên dương $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ thỏa, với mọi số nguyên dương $n$,
$$
a_{n+1}=(n+1)(a_n-n+1).
$$
Theo $a_1$, hãy xác định số nguyên dương lớn nhất $k$ sao cho $\gcd(a_i,a_{i+1})=k$ với một số nguyên dương $i\ge2$.