MathNet 2026 — Phần 08

Trong một tam giác $ABC$, hãy đặt $K$ là một điểm trên trung tuyến $BM$ sao cho $CM = CK$. Hóa ra là $\angle CBM = 2\angle ABM$. Chứng minh rằng $BC = KM$.

Ninja Genji nhảy dọc theo trục số thực, xuất phát từ điểm $0$. Genji thực hiện luân phiên hai kiểu nhảy dưới đây, bắt đầu bằng kiểu 1.

**Kiểu 1:** Từ vị trí hiện tại $x$, Genji nhảy đến một điểm $y$ thuộc tập
$$
\{x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6\}.
$$

**Kiểu 2:** Từ vị trí hiện tại $y$, Genji nhảy đến $(\sqrt{2}-3)y$.

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại một dãy hữu hạn các bước nhảy đưa Genji đến điểm $a+b\sqrt{2}$.

Cho $ABCD$ là tứ giác lồi với $AC \perp BD$. Chứng minh rằng có các điểm $P, Q, R, S$ trên các cạnh $AB, BC, CD, DA$, sao cho $PR \perp QS$ và diện tích hình tứ giác $PQRS$ chính xác bằng một nửa so với $ABCD$.

Cho $n \ge 2$ là một số nguyên. Killer là một trò chơi được chơi bởi một nhà cái và người chơi $n$. Trò chơi bắt đầu với việc nhà cái chỉ định một trong những người chơi $n$ là kẻ giết người và giữ bí mật thông tin này. Mọi người chơi đều biết rằng kẻ giết người tồn tại trong số những người chơi $n$. Đại lý có thể đưa ra nhiều thông báo công khai như anh ta muốn. Sau đó, anh ta bí mật đặt cho mỗi người chơi $n$ một tên (có thể khác nhau) của một trong những người chơi $n$. Trò chơi này có thuộc tính rằng: (i) một mình, mỗi người chơi (bao gồm cả kẻ giết người) không biết kẻ giết người là ai. Mỗi người chơi cũng không thể chắc chắn ai không phải là kẻ giết người. (ii) Nếu bất kỳ hai người chơi $n$ trao đổi thông tin, họ có thể xác định kẻ giết người. Ví dụ, nếu có một nhà cái và 2 người chơi, nhà cái có thể thông báo rằng anh ta sẽ đưa ra cùng một tên cho cả hai người chơi nếu người chơi đầu tiên là kẻ giết người, và đặt tên khác cho người chơi nếu người chơi thứ hai là kẻ giết người.
a. chứng minh rằng Killer có thể chơi với một nhà cái và 5 người chơi.
b. Xác định xem Killer có thể chơi với một nhà cái và 4 người chơi hay không.

Cho $P$ là một điểm bên trong $\triangle ABC$. Cho $A_1, B_1, C_1$ là điểm trong nội thất của các đoạn thẳng $PA, PB, PC$, tương ứng. Cho $\overline{BC_1} \cap \overline{CB_1} = \{A_2\}$, $\overline{CA_1} \cap \overline{AC_1} = \{B_2\}$ và $\overline{AB_1} \cap \overline{BA_1} = \{C_2\}$. Gọi $U$ là giao điểm của các đường $A_1B_1$ và $A_2B_2$, và $V$ là giao điểm của các đường $A_1C_1$ và $A_2C_2$. Chứng minh rằng các dòng $UC_2$, $VB_2$ và $AP$ là đồng quy.

Tìm số nguyên dương lớn nhất $n$ có thể chia hết cho tất cả các số nguyên dương có khối lập phương không lớn hơn $n$.

Cho $S_r(n) = 1^r + 2^r + \dots + n^r$ trong đó $r$ là một số hữu tỉ và $n$ là một số nguyên dương. Tìm tất cả ba $(a, b, c)$ trong đó $a$ và $b$ là số hữu tỉ dương và $c$ là một số nguyên dương mà tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn $S_a(n) = (S_b(n))^c$.

Chứng minh rằng $$
a + b + c + \sqrt{3} \geq 8abc \left( \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} + \frac{1}{c^2 + 1} \right)
$$ cho tất cả các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab + bc + ca \leq 1$.

Alice và Bob chơi một trò chơi trên bảng $1 \times m$ bằng cách sử dụng các thẻ $2012$ được đánh số từ $1$ đến $2012$. Ở mỗi bước, Alice chọn một thẻ và Bob đặt nó trên một hình vuông trống của bảng. Bob thắng trò chơi khi các con số trên thẻ trên bảng tăng theo thứ tự sau khi $k$ các bước $1 \leq k \leq 2012$, nếu không Alice sẽ thắng. Tìm tất cả các cặp $(k, m)$ mà Bob có thể đảm bảo giành chiến thắng trong trò chơi.

Trong một tam giác nhọn $ABC$, hãy cho $D$ là điểm trên cạnh $[BC]$ khác với các đỉnh. Gọi $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $[AD], [AB], [AC], [BD], [CD]$; $O_1, O_2, O_3, O_4$ lần lượt là đường tròn tâm của các tam giác $ABD, ACD, M_1M_2M_4, M_1M_3M_5$; $S$ và $T$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AO_1$ và $AO_2$. Chứng minh rằng $SO_3O_4T$ là một hình thang cân.

Chứng minh rằng $$
(x^2 + y^2)^3 \geq 32(x^3 + y^3)(xy - x - y)
$$ cho tất cả các số thực $x, y$ thỏa mãn $x + y \geq 0$.

let $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$ là điểm khác biệt trên mặt phẳng thỏa mãn $ABC \cong A'B'C'$ và điểm $G$ là tâm của tam giác $ABC$. Nếu đường tròn tâm $A'$ đi qua $G$ và đường kính $[AA']$ cắt nhau tại điểm $A_1$ thì đường tròn tâm $B'$ đi qua $G$ và đường tròn đường kính $[BB']$ giao nhau tại điểm $B_1$, đường tròn tâm $C'$ đi qua $G$ và đường tròn đường kính $[CC']$ giao nhau tại điểm $C_1$, cho thấy rằng $$
AA_1^2 + BB_1^2 + CC_1^2 \le AB^2 + BC^2 + CA^2.
$$

Xác định tất cả các số nguyên dương $m$, $n$ và số nguyên tố $p$ sao cho $$
\frac{5^m + 2^n p}{5^m - 2^n p}
$$ là hình vuông của một số nguyên.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ mà một số nguyên có thể được viết dưới dạng tổng bình phương của $n$ với mỗi số nguyên được chia hết cho $n$, cũng có thể được biểu thị Vì tổng các bình phương của $n$ không có số nguyên nào trong số chúng chia hết cho $n$.

Tìm số phân vùng của $\{1, 2, \dots, 2012\}$ thành hai tập hợp sao cho không có bộ nào chứa hai phần tử riêng biệt mà tổng là lũy thừa của $2$.

Gọi $Z^+$ biểu thị tập hợp tất cả các số nguyên dương và $P$ biểu thị tập hợp tất cả các số nguyên tố. Đối với các tập hợp con $A$ và $S$ của $Z^+$, $A$ được gọi là $S$ nếu tồn tại một số nguyên dương $N$ sao cho tất cả $a \in A$ và số nguyên $b$ với $0 \le b \lt a$ không nhất thiết phải có các phần tử khác biệt $s_1, s_2, \dots, s_n$ của $S$ thỏa mãn các điều kiện $b \equiv s_1 + s_2 + \dots + s_n \pmod a$ và $1 \le n \le N$. Tìm một tập con $S$ của $Z^+$ mà $P$ là $S$-proper nhưng $Z^+$ thì không.

Gọi $a$, $b$, $c$ là độ dài các cạnh của một tam giác; $r_a$, $r_b$, $r_c$ lần lượt là exradii tương ứng và $r$ là bán kính nội tiếp. Chứng minh rằng $$
\frac{a+b+c}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \leq \frac{\sqrt{r_a^2+r_b^2+r_c^2}}{r_a+r_b+r_c-3r}
$$

Cho $A = \{1, 2, \dots, 2012\}$, $B = \{1, 2, \dots, 19\}$ và $S$ là tập hợp tất cả các tập con của $A$. Xác định số chức năng $f : S \to B$ thỏa mãn điều kiện $f(A_1 \cap A_2) = \min\{f(A_1), f(A_2)\}$ cho tất cả $A_1, A_2 \in S$.

Hình tròn của một tam giác $ABC$ lần lượt chạm vào các cạnh $[BC], [CA], [AB]$ tại các điểm $D, E, F$. Đường tròn đi qua điểm $A$ và chạm vào đường $BC$ tại $D$ cắt các đoạn thẳng $[BF]$ và $[CE]$ tại Điểm $K$ và $L$ tương ứng. Đường đi qua $E$ và song song với $DL$ và đường đi qua $F$ và song song với $DK$ cắt nhau tại điểm $P$. Gọi $R_1, R_2, R_3, R_4$ tương ứng là đường tròn của các tam giác $AFD, AED, FPD, EPD$. Chứng minh rằng $R_1R_4 = R_2R_3$.

Tìm hằng số lớn nhất $M$ sao cho $$
a^2 + b^2 + c^2 + 3abc \geq M(ab + bc + ca)
$$ cho tất cả các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 4$.