Cho $\alpha$ và $\beta$ là các số thực dương. Emerald thực hiện một chuyến đi trên mặt phẳng tọa độ, bắt đầu từ gốc tọa độ $(0,0)$. Mỗi phút cô ấy đi lên một đơn vị hoặc sang phải một đơn vị, và luôn giới hạn mình trong miền $|x-y|\lt 2025$ trên mặt phẳng tọa độ. Mỗi khi đến một điểm $(x,y)$, cô ấy ghi lên đó số nguyên $\lfloor x\alpha+y\beta\rfloor$. Hóa ra Emerald đã ghi mỗi số nguyên không âm đúng một lần. Hãy tìm tất cả các cặp $(\alpha,\beta)$ có thể để tồn tại một chuyến đi như vậy.
Cho $P(x)$ là một đa thức không hằng với hệ số nguyên và $P(0)\neq0$. Cho $a_1,a_2,a_3,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên sao cho $P(i-j)$ chia $a_i-a_j$ với mọi cặp số nguyên dương phân biệt $i,j$. Chứng minh rằng dãy $a_1,a_2,a_3,\ldots$ phải là dãy hằng, tức tồn tại hằng số $c$ sao cho $a_n=c$ với mọi số nguyên dương $n$.
Cho $n\geq3$ là một số nguyên. Có $n$ ô nằm trên một đường tròn và mỗi ô được gán số $0$ hoặc $1$. Một con gà trống đứng trên một trong các ô đó và lặp lại các thao tác sau:
- Nếu con gà trống đứng trên một ô mang số $0$, nó đổi số của ô đó thành $1$ rồi chuyển sang ô kế tiếp theo chiều ngược kim đồng hồ.
- Nếu con gà trống đứng trên một ô mang số $1$, nó đổi số của ô đó thành $0$ rồi chuyển tới ô cách hai ô theo chiều ngược kim đồng hồ (tức ô sau ô kế tiếp).
Chứng minh rằng sau đủ nhiều thao tác, mệnh đề sau luôn đúng:
Nếu con gà trống đang ở ô $C$, thì nó sẽ đi quanh đường tròn đúng ba vòng rồi dừng lại tại $C$. Hơn nữa, mọi ô sẽ mang đúng số mà nó đã mang ngay trước khi con gà trống bắt đầu đi ba vòng đó.
Xét một dãy vô hạn $a_1,a_2,\ldots$ gồm các số nguyên dương sao cho
$$
100!\left(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n\right)\quad \text{là bội của }a_{n-m+1}a_{n+m}
$$
với mọi số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $m\leq n$.
Chứng minh rằng dãy hoặc bị chặn hoặc là tuyến tính.
Nhận xét: Một dãy số nguyên dương được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số $N$ sao cho $a_n\lt N$ với mọi $n\in\mathbb Z_{\gt 0}$. Dãy được gọi là tuyến tính nếu $a_n=n\cdot a_1$ với mọi $n\in\mathbb Z_{\gt 0}$.
Cho $k$ là một số nguyên dương và $n_1,n_2,\dots,n_k\gt 1$ là $k$ số nguyên phân biệt sao cho
$$
n_1!+\dots+n_k!=a^{n_1}
$$
với một số nguyên dương $a$. Chứng minh rằng ít nhất một trong các số $n_1,n_2,\dots,n_k$ là số nguyên tố.
Một số nguyên dương $n\gt 1$ được gọi là tốt nếu tồn tại một hoán vị của các số $1,2,3,\dots,n$, ký hiệu $(a_1,a_2,\dots,a_n)$, sao cho $a_i$ và $a_{i+1}$ khác tính chẵn lẻ với mọi $1\le i\le n-1$; đồng thời với mọi $1\le k\le n$, tổng $a_1+a_2+\dots+a_k$ là một số dư bậc hai theo môđun $n$. Chứng minh rằng có vô hạn số tốt và cũng có vô hạn số không tốt.
*Chú ý: Ở đây số nguyên $x$ được gọi là số dư bậc hai theo môđun $n$ nếu tồn tại số nguyên $y$ sao cho $x\equiv y^2\pmod n$.*
Với một số nguyên dương $k$, một cặp số nguyên dương $(a,b)$ được gọi là *$k$-đẹp* nếu $a\mid b^k+1$ và $b\mid a^k+1$. Với những số nguyên dương $k$ nào tồn tại vô hạn cặp $k$-đẹp?
Cho $k\gt 2$ là một số nguyên dương cố định. Tìm tất cả các số nguyên dương $d$ sao cho tồn tại một đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên, $\deg P(x)=d$, và
$$
11^k\mid2025^n+P(n)
$$
với mọi số nguyên dương $n\gt k$.
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho tồn tại một số nguyên dương $N$ để với mọi số nguyên dương $n\gt N$ ta có $P(n)\gt 0$ và
$$
n+P(n)\mid n^{P(n)}+P(n)^n.
$$
Chứng minh rằng bất đẳng thức
$$
\left(\frac{a^2+b^2}{a+b}\right)^3+\left(\frac{b^2+c^2}{b+c}\right)^3+\left(\frac{c^2+a^2}{c+a}\right)^3\ge a^3+b^3+c^3
$$
đúng với mọi $a,b,c\gt 0$.
Xét một bảng có $m$ hàng và $22$ cột. Mỗi ô được điền một số thuộc tập $A=\{1,2,3,\dots,2025\}$ (các số có thể lặp lại), sao cho với mọi cặp hai số phân biệt trong $A$, tồn tại một hàng chứa đúng một trong hai số đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của $m$.
Một mạng xã hội có $2025$ người dùng. Hai người dùng khác nhau hoặc là bạn bè, hoặc không phải bạn bè. Một người được gọi là *cô đơn* nếu không có người bạn nào. Ban đầu không có người dùng cô đơn, và hai người Alice và Bob không phải bạn bè. Một người dùng có thể “đảo” toàn bộ quan hệ bạn bè của mình: người trước đó là bạn thì sau thao tác không còn là bạn, và ngược lại. Có nhất thiết tồn tại một cách sắp xếp $2025$ người dùng thành một dãy sao cho nếu lần lượt theo dãy ấy mỗi người đảo toàn bộ bạn bè của mình, thì trong suốt quá trình không có người nào từng trở nên cô đơn hay không?
Cho $n,m$ là các số nguyên dương với $n\ge2$. Có $n$ đống đá chứa lần lượt $a_1,\dots,a_n$ viên sao cho với mỗi $1\le i\le n$,
$$
m\le a_i\le m\cdot i
$$
(nên $a_1=m$). Aida và Bob chơi trò chơi sau. Mỗi lượt, Bob chọn hai đống không rỗng (nếu có thể) và lấy một số viên khỏi đống có ít đá hơn (nếu bằng nhau, Bob chọn tùy ý). Sau đó Aida quyết định hoặc lấy cùng số viên khỏi đống kia, hoặc chuyển những viên Bob vừa lấy sang đống kia. Nếu còn nhiều nhất một đống không rỗng thì trò chơi kết thúc.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho Aida có thể đảm bảo rằng tại một thời điểm nào đó sẽ còn nhiều nhất $k$ viên đá, bất kể dãy $a_1,\dots,a_n$ và cách chơi của Bob.