MathNet 2026 — Phần 03

Hình tam giác - Có bao nhiêu hình tam giác có chu vi 15 đơn vị và cạnh đo số nguyên?

Hãy xem xét tổng của ba bảng dưới đây. đại diện đầu tiên $n$ dòng, đầu tiên với $n$ số bằng $n$, thứ hai với $n-1$ số bằng $n-1$ và như vậy. Thứ hai, chúng ta có một phân phối số tương tự, nhưng trong các cột thay vì các hàng. Thứ ba, chúng ta có các đường chéo số này, đường chéo đầu tiên có một số $1$, hai số thứ hai bằng $2$, ba số thứ ba bằng $3$ và như vậy.

Kết quả của tổng ba bảng sẽ là một bảng có cùng số các số và với mỗi vị trí là kết quả của tổng các vị trí tương ứng trong ba bảng. Ví dụ, ở góc trên bên trái, chúng ta sẽ có số $n+n+1=2n+1$.


a) Một cách để kiểm tra có bao nhiêu số trong mỗi bảng là lật ngược một số và nối với một số khác để tạo thành một hình chữ nhật với $n$ hàng và gấp đôi số lượng trong một bảng. Biết điều này, có bao nhiêu số trong một bảng?


b) Mỗi số xuất hiện bao nhiêu lần? $k$ Trong cả ba bảng?


c) Đối với mỗi vị trí, dòng $i$ và cột $j$, xác định các số được ghi trên đó trong ba bảng và trong bảng kết quả.


d) Sử dụng thông tin trong các mục trước đó, kiểm tra xem
$$
1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+(n-1)^{2}+n^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)
$$

Hai tiếp tuyến được vẽ từ một điểm $A$ đến một đường tròn tâm $O$, chạm vào nó trong $B$ và $C$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, biết rằng $\angle BAC = 40^\circ$, hãy tìm giá trị của góc $\angle HCO$.

Một số may mắn là một số có tổng các chữ số của nó là chia hết cho $7$. Ví dụ, $7$, $25$ và $849$ là những con số may mắn. Cặp số may mắn nhỏ nhất là $7$ và $16$.
a. Tìm tám con số liên tiếp, trong đó hai con số may mắn.
b. Tìm số liên tiếp $12$, sao cho không ai may mắn.
c. cho thấy bất kỳ dãy số nào của $13$ liên tiếp đều chứa ít nhất một số may mắn.

a) Lưu ý các khoản tiền:

Kiểm tra giá trị của nó:
$$
\begin{gathered}
\frac{(k+1) \cdot (k+2) \cdot (k+3) \cdot \ldots \cdot (k+901)}{901} + (k+2) \cdot (k+3) \cdot (k+4) \cdot \ldots \cdot (k+901) = \\
\frac{(k+2) \cdot (k+3) \cdot \ldots \cdot (k+901) \cdot (k+902)}{901}
\end{gathered}
$$


b) được $N$ Tổng các số:
$$
\begin{array}{rrrrrrrrrr}
& 1 & \times & 2 & \times & 3 & \times & \ldots & \times & 900 \\
+ & 2 & \times & 3 & \times & 4 & \times & \ldots & \times & 901 \\
+ & \ldots & & & & & & & & \\
+ & 1116 & \times & 1117 & \times & 1118 & \times & \ldots & \times & 2015
\end{array}
$$
cho thấy $901 \cdot N$ chia hết cho mọi phần tử của tập hợp $\{1116,1117, \ldots, 2016\}$.

Trên bảng sau đây, chúng ta phải đặt tất cả các số, vì $1$ lên cho đến khi $25$, tuân theo các quy tắc sau: - Trong mỗi hàng đợi, $5$ Các số được đặt nên tạo thành một chuỗi tăng nghiêm ngặt khi đọc từ trái sang phải. - Trong mỗi cột, $5$ Các số được đặt nên tạo thành một chuỗi tăng nghiêm ngặt khi đọc từ trên xuống dưới.



Đường chéo chính của bảng là đường chéo được vẽ trên biểu đồ.


a) Chứng minh rằng sau khi đặt các số, số nhỏ nhất đặt trên đường chéo chính luôn lớn hơn hoặc bằng $5$và số lớn nhất được đặt trên đường chéo chính lớn hơn hoặc bằng $15$.


b) Đặt các số trên bảng sao cho trên đường chéo chính, chúng ta tìm các số $5, 9, 12, 14$ e $15$.


c) chứng tỏ rằng không thể đặt các số sao cho tổng trên đường chéo chính nhỏ hơn $55$.

Vivi, Tânia và Rosa liên tiếp, không nhất thiết phải theo thứ tự đó, và họ hét lên liên tiếp, mỗi cái, một bội số của $3$.

| 3 | 6 | 9 |
| :---: | :---: | :---: |
| 12 | 15 | 18 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |

Vivi là người đầu tiên hét lên một số lớn hơn $2003$ và Rosa là người đầu tiên hét lên một số có bốn chữ số. ai đã hét số $666$? Và $888$?

Hình minh họa một hình đa giác 9 mặt thông thường. Số đo cạnh của đa giác là $a$, số đo của đường chéo nhỏ nhất là $b$ và số đo của đường chéo lớn nhất là $d$. Hình 58.1
a) Xác định số đo góc $B\hat{A}E$.
b) Cho thấy $d = a + b$. Hình 58.2

Xác định tất cả các số nguyên dương khác biệt $x$ và $y$ sao cho $$
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{7}
$$

Trọng số của một số là tổng các chữ số của nó. Con số nhỏ nhất nặng 2000 là gì?

Tổng lũy thừa của 2 - Xác định giá trị $n$ mà số $2^{8}+2^{11}+2^{n}$ là một số chính phương.

Hai người chơi đối mặt trong một trò chơi chiến đấu xúc xắc. Tiền đạo sẽ tung ba viên xúc xắc và hậu vệ, hai. Kẻ tấn công sẽ đánh bại người phòng thủ chỉ trong một viên xúc xắc nếu, và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn: i) Chế độ chết cao nhất của kẻ tấn công lớn hơn mức chết cao nhất của người phòng thủ. ii) Dữ liệu cao thứ hai của kẻ tấn công lớn hơn con số lớn thứ hai cho Defender (chúng tôi đồng ý rằng "dữ liệu lớn thứ hai" có thể bằng với dữ liệu cao nhất, nếu hai hoặc nhiều dữ liệu ràng buộc ở giá trị cao nhất). Xem xét rằng tất cả dữ liệu là trung thực với kết quả tương đương, hãy tính xác suất để kẻ tấn công giành chiến thắng khi hậu vệ nhận được dữ liệu của mình:
a) 2 Cinco;
b) 1 năm và 1 bốn.

Tích liên tiếp - Chia số $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ e $17$ Trong hai nhóm theo cách đó, bằng cách nhân tất cả các số của một nhóm và tất cả các nhóm kia, chúng ta tìm thấy các số liên tiếp.

Cổ áo - một chiếc vòng cổ được cấu tạo từ những viên ngọc trai lớn và những viên ngọc trai nhỏ, tổng cộng chưa đến 500 viên ngọc trai. Tôi. Nếu chúng ta thay thế $70\%$ ngọc trai lớn bằng ngọc nhỏ thì trọng lượng vòng cổ giảm từ $60\%$. II. Nếu chúng ta thay thế $60\%$ ngọc nhỏ bằng ngọc trai lớn thì trọng lượng vòng cổ tăng lên từ $70\%$. Vòng cổ có bao nhiêu viên ngọc trai?

Ba chiếc xe khởi hành từ một thành phố $A$ cùng một lúc và đi một con đường khép kín bao gồm ba đoạn thẳng $AB$, $BC$ và $CA$. Tốc độ của chiếc xe đầu tiên trên các đoạn thẳng này lần lượt là 12, 10 và 15 km / giờ. Tốc độ của chiếc xe thứ hai lần lượt là 15, 15 và 10 km. Cuối cùng, tốc độ của chiếc xe thứ ba lần lượt là 10, 20 và 12 km mỗi giờ. Tìm giá trị của Angle $\angle ABC$, biết rằng cả ba chiếc xe kết thúc trong thành phố $A$ cùng một lúc.

A ca rô - Hình chữ nhật bình phương trong hình được tạo thành từ 31 đoạn của $0{,}5~\mathrm{cm}$, và bao gồm 12 hình vuông. Rosa vẽ trên một tấm hình chữ nhật $21~\mathrm{cm}$ bởi $29{,}7~\mathrm{cm}$ được đánh dấu bằng các hình vuông của $0{,}5~\mathrm{cm}$ bên, một hình chữ nhật ca rô lớn được làm với 1997 phân đoạn. Hình chữ nhật này có bao nhiêu hình vuông?

Điểm $M$, $N$ và $P$ được chọn ở các bên $BC$, $CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ sao cho $BM = BP$ và $CM = CN$. Hạ thấp vuông góc từ $B$ đến $MP$ và đường vuông góc hạ xuống của $C$ đến $MN$ cắt $I$. Chứng minh rằng các góc $\angle IPA$ và $\angle INC$ là đồng dạng.

Đối với bữa tiệc sinh nhật của trường, Ana, Pedro, Miriam và Fábio đã cùng nhau 90 chiếc kẹo. Giáo viên của họ quan sát thấy rằng: - Nếu Ana đã lấy thêm 2 chiếc kẹo; - Nếu Pedro đã lấy ít hơn 2 kẹo; - nếu Miriam đã lấy nhiều gấp đôi; - Nếu Fábio đã lấy một nửa; 4 người bạn sẽ lấy cùng một số đồ ngọt. Mỗi người bạn đã lấy bao nhiêu đồ ngọt?

Ở một quốc gia nào đó có 21 thành phố và chính phủ dự định xây dựng các tuyến đường $n$ (tất cả hai chiều), mỗi con đường kết nối chính xác 2 thành phố của đất nước. Giá trị nhỏ nhất của $n$ là bao nhiêu để, bất kể con đường được xây dựng như thế nào, có thể đi lại giữa 2 thành phố bất kỳ (đi qua, có thể, qua các thành phố trung gian)?

Một tứ giác - Tứ giác $ABCD$ trong hình hình bình hành?