MathNet 2026 — Phần 04

Chúng ta có thể vẽ các đoạn $2003$ trong mặt phẳng để mỗi đoạn cắt chính xác thành ba đoạn khác không?

Giả sử chúng ta có một bảng với mười sáu ô xếp thành bốn hàng và bốn cột.
a) chứng minh rằng có thể đặt bảy ô, không bao giờ có hai ô trong cùng một hộp, để khi bạn xóa hai hàng và hai cột bất kỳ, luôn có một mảnh còn lại mà không cần xóa.
b) chứng minh rằng nếu sáu ô được đặt, không bao giờ có hai ô trong cùng một hộp, bạn luôn có thể xóa hai hàng và hai cột để tất cả các ô sẽ bị xóa.

Cho $x, y, z$ là thực dương sao cho $x+y+z=3$. Tìm giá trị lớn nhất đạt được bởi $$
\sqrt{x}+\sqrt{2 y+2}+\sqrt{3 z+6}
$$ cho những giá trị nào của $x, y, z$ được cho là tối đa đạt được?

Ta xét đa thức $P(x)=x^{3}+A x^{2}+B x+C$, $Q(x)=3 x^{2}+2 A x+B$ ($x$ là biến $A$, $B$, $C$ là các thông số). Giả sử rằng, có $a, b, c$ Chúng là ba gốc của $P$, những người của $Q$ Họ là $\frac{a+b}{2}$, $\frac{b+c}{2}$. Xác định tất cả các đa thức có thể $P, Q$.

Tính tất cả các giá trị có thể có của $f(2004)$, trong đó $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ là hàm thực hiện: - $f(n m)=f(n) f(m)$ cho tất cả các số tự nhiên $m, n$. - $f(n) \leq n^{2}$ cho tất cả các số tự nhiên $n$. - $f(1002) \geq 1003969$

Xác định tam giác có chu vi nhỏ nhất giữa tất cả các đường có chu vi có cùng bán kính và cùng giá trị của một góc.

Encontrar todas las soluciones enteras positivas de $$
\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b+c-2}=1
$$

Hai quả cầu bán kính $r$ là tiếp tuyến bên ngoài. Ba quả cầu bán kính khác $R$ là các tiếp tuyến bên ngoài với nhau, hai đến hai. Mỗi trong ba quả cầu này cũng là tiếp tuyến ngoài hai quả cầu đầu tiên. Tìm mối quan hệ giữa $R$ và $r$.

Tìm, hợp lý, hai số nguyên dương $a$ và $b$, sao cho $$
\begin{aligned}
& b^{2} \text{ là bội số của } a, \\
& a^{3} \text{ là bội số của } b^{2}, \\
& b^{4} \text{ là bội số của } a^{3}, \\
& a^{5} \text{ là bội số của } b^{4}, \\
& \text{nhưng } b^{6} \text{ Đừng là bội số của } a^{5}.
\end{aligned}
$$

Nó được yêu cầu tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $3^{n}+5^{n}$ là bội số của $3^{n-1}+5^{n-1}$.

Chúng ta nói rằng ba số tự nhiên khác nhau tạo thành một cộng ba nếu tổng của hai số đầu tiên bằng số thứ ba. Tìm, hợp lý, số lượng danh sách cộng tối đa có thể tồn tại trong một tập hợp 20 số tự nhiên nhất định.

Chúng tôi đặt 23 trận đấu trên một bàn và 2 người chơi một trò chơi: mỗi trận đấu, lần lượt rút tiền từ 1 đến 4 trận (bao gồm). Ai giành chiến thắng cuối cùng. Có một chiến lược chiến thắng cho một trong hai? Chiến lược chiến thắng là một cách chơi cho phép một trong hai người giành chiến thắng bất kể đối thủ của họ chơi như thế nào.

Liệu $\Omega$ và $\Gamma$ hai đường tròn liên tục. Chúng tôi lưu ý $A$ một trong những giao lộ của họ. Liệu $d$ Đường thẳng nào đi qua điểm $A$. Chúng tôi lưu ý $P$ và $Q$ các giao điểm tương ứng của bên phải $d$ với các đường tròn $\Omega$ và $\Gamma$ khác với $A$. chứng tỏ rằng có một điểm độc lập với đường thẳng $d$ được chọn và luôn thuộc về người hòa giải của đoạn thẳng $[PQ]$.

Cho $ABCD$ là hình thang như $(AB)$ và $(CD)$ là song song. Giả sử rằng $AD \lt CD$ và $ABCD$ được ghi trong một đường tròn $\Gamma$. Cho $P$ trên $\Gamma$ như $(DP)$ là song song với $(AC)$. Tiếp tuyến với $\Gamma$ trong $D$ cắt $(AB)$ thành $E$, và dây $[BP]$ và $[CD]$ giao nhau trong $Q$. Cho thấy rằng $EQ = AC$.

Tìm tất cả các chức năng $f$ của $\mathbb{R}$ trong $\mathbb{R}$ chẳng hạn như cho tất cả $x, y$ thực, $$
f(x f(x)+f(y))=f(x)^{2}+y
$$

Xác định tất cả các bộ ba của số nguyên dương $(a, b, n)$ Kiểm tra: $$
a! + b! = 2^{n}
$$

Đặc trưng số nguyên $n \geq 2$ chẳng hạn như cho bất kỳ số nguyên $a$ trên AIT $a^{n+1} \equiv a \pmod{n}$.

Liệu $ABC$ một tam giác cân trong $A$, $D$ Chân chiều cao từ $A$ và $M$ một điểm bên trong tại $ADC$ nhu la $\widehat{AMB}$ là tù túng và $\widehat{DBM} + \widehat{DAM} = \widehat{MCB}$. các quyền $(CM)$ và $(AD)$ giao nhau trong $P$, và các dòng $(BM)$ và $(AD)$ giao nhau trong $Q$. Liệu $S$ một điểm của $[AB]$ và $R$ một điểm của $[AM)$ không chắc chắn $[AM]$ nhu la $\widehat{SQB} = \widehat{DPC}$ và $\widehat{MRQ} = 2\widehat{QAM}$. để cho thấy điều đó $QRS$ là isosceles.

Liệu $ABC$ một tam giác và $\omega$ đường tròn của anh ấy ghi. Chúng tôi lưu ý $P, Q, R$ Các điểm tiếp xúc của $\omega$ với $(BC), (CA)$ và $(AB)$. một đường tròn đi qua $B$ và $C$ là tiếp tuyến trong $X$ à $\omega$, một đường tròn đi qua $C$ và $A$ là tiếp tuyến trong $Y$ à $\omega$ Và một đường tròn đi qua $A$ và $B$ là tiếp tuyến trong $Z$ à $\omega$. Chứng minh rằng các dòng $(PX), (QY)$ và $(RZ)$ đồng quy.

$K$ có nghĩa là giá trị tối đa của $$
\left|x_{1}-x_{2}\right| \cdot\left|x_{1}-x_{3}\right| \cdot\left|x_{1}-x_{4}\right| \cdot\left|x_{2}-x_{3}\right| \cdot\left|x_{2}-x_{4}\right| \cdot\left|x_{3}-x_{4}\right|
$$ hoặc $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in [0 ; 1]$.
a. Chứng minh rằng $\frac{4}{243} \lt K \lt \frac{1}{27}$.
b. Xác định $K$.