Xác định số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập $A$ gồm 10 điểm trong mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng, có tính chất sau: có thể tô màu 45 đoạn thẳng có hai đầu mút thuộc $A$ bằng $k$ màu sao cho hai đoạn thẳng bất kỳ cùng màu thì cắt nhau, hoặc tại điểm trong của chúng, hoặc tại một đầu mút.
Cho tam giác $ABC$ bất kỳ với tâm đường tròn nội tiếp $I$, và gọi $I_a$, $I_b$, $I_c$ lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp của tam giác $ABC$ đối diện với các đỉnh $A$, $B$, $C$, tức là tiếp xúc với các cạnh $BC$, $CA$ và $AB$. Gọi $E$, $F$, $G$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh $BC$, $CA$ và $AB$.
Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $IEI_a$, $IFI_b$ và $IGI_c$ có một điểm chung thứ hai khác $I$.
Petru Braica
Cho $n \ge 3$ là một số tự nhiên. John vẽ một $n$-giác đều và nối mọi cặp đỉnh. Trên mỗi đoạn thẳng, John viết một số tự nhiên khác không sao cho trong mọi tam giác tạo bởi ba đỉnh, một trong các số trên các cạnh của nó bằng tổng của hai số còn lại.
Xác định số lượng nhỏ nhất các giá trị phân biệt mà John có thể viết.
Cho tam giác $ABC$ với $\angle ABC = 2 \cdot \angle ACB$. Gọi $X$ và $Y$ lần lượt là điểm chính giữa các cung $AB$ và $BC$ (lần lượt không chứa $C$ và $A$) của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Gọi $BL$ là đường phân giác của góc $\angle ABC$, với $L \in AC$. Biết rằng $\angle XLY = 90^\circ$, hãy xác định số đo các góc của tam giác $ABC$.
Cho $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$, và $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số thực. Đặt
$$
S = \sum_{1 \le i \lt j \le n} |a_j - a_i| \quad \text{và} \quad d = \max\{|a_j - a_i| \mid 1 \le i, j \le n\}.
$$
Chứng minh rằng
$$
(n-1)d \le S \le \frac{n^2 d}{4}
$$
Cho $n \ge 2$ và xét một bảng có $n+1$ hàng và $n$ cột, trong đó trên mỗi hàng trong $n$ hàng đầu tiên, Nicuşor viết các số $1, 2, \dots, n$ theo một thứ tự nào đó. Sau đó, bạn ấy chọn một hoán vị $a_1, a_2, \dots, a_n$ của các số $1, 2, \dots, n$ và điền hàng cuối như sau: với mỗi $j \in \{1, 2, \dots, n\}$, bạn ấy viết vào ô ở cột $j$ số lần xuất hiện của $a_j$ trong các ô nằm ở giao của cột $j$ với $n$ hàng đầu tiên.
Tìm tất cả các giá trị $n$ để Nicuşor có thể điền bảng và chọn $a_1, a_2, \dots, a_n$ sao cho hàng cuối chứa các số $1, 2, \dots, n$ theo một thứ tự nào đó.
Cristi Săvescu
Cho tứ giác lồi $ABCD$ có tính chất: các đường tròn có đường kính là các đoạn $AB$ và $CD$ tiếp xúc ngoài với nhau tại một điểm $M$, khác giao điểm của hai đường chéo của tứ giác.
Gọi $K$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMC$ với đường thẳng đi qua $M$ và trung điểm của đoạn $AB$, và gọi $L$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMD$ với đường thẳng đi qua $M$ và trung điểm của đoạn $CD$.
Chứng minh rằng $|MK - ML| = |AB - CD|$.
Cho số nguyên $n \gt 10$, và cho $A_1, A_2, \dots, A_n$ là các điểm phân biệt trong mặt phẳng sao cho các khoảng cách giữa các điểm đôi một khác nhau. Định nghĩa $f_{10}(j, k)$ là khoảng cách nhỏ thứ 10 trong các khoảng cách từ $A_j$ đến $A_1, A_2, \dots, A_k$, không tính $A_j$ nếu $k \ge j$. Giả sử rằng với mọi $j$ và $k$ thỏa mãn $11 \le j \le k \le n$, ta có $f_{10}(j, j-1) \ge f_{10}(k, j-1)$. Chứng minh rằng $f_{10}(j, n) \ge \frac{1}{2}f_{10}(n, n)$ với mọi $j$ trong phạm vi $1 \le j \le n-1$.
Iran, Morteza Saghafian
Cố định số nguyên $n \ge 3$. Xác định số nguyên dương $k$ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện sau:
Với mọi cây $T$ có các đỉnh $v_1, v_2, \dots, v_n$ và mọi bộ số phức đôi một phân biệt $z_1, z_2, \dots, z_n$, tồn tại một đa thức $P(X, Y)$ với hệ số phức, có bậc toàn phần không quá $k$, sao cho với mọi $i \ne j$ thỏa mãn $1 \le i, j \le n$, ta có $P(z_i, z_j) = 0$ khi và chỉ khi có một cạnh của $T$ nối $v_i$ với $v_j$.
*Chú ý, chẳng hạn, bậc toàn phần của đa thức $9X^3Y^4 + XY^5 + X^6 - 2$ là 7 vì $7 = 3 + 4$.*
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB \lt AC$ và gọi $H$, $O$ lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi $\Gamma$ là đường tròn $BOC$. Đường thẳng $AO$ và đường tròn tâm $A$ bán kính $AO$ cắt $\Gamma$ lần thứ hai lần lượt tại $A'$ và $F$. Chứng minh rằng $\Gamma$, đường tròn đường kính $AA'$ và đường tròn $AFH$ đồng quy.
Cho $k$ và $m$ là các số nguyên lớn hơn $1$. Xét $k$ tập hợp đôi một rời nhau $S_1, S_2, \dots, S_k$; mỗi tập có đúng $m+1$ phần tử, trong đó một phần tử màu đỏ và $m$ phần tử còn lại đều màu xanh. Gọi $\mathcal{F}$ là họ tất cả các tập con $F$ của $S_1 \cup S_2 \cup \dots \cup S_k$ sao cho với mọi $i$, giao $F \cap S_i$ là đơn sắc; tập rỗng được xem là đơn sắc. Xác định số phần tử lớn nhất có thể có của một họ con $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$ mà không có hai tập nào của nó rời nhau.
Xét các hình vuông $ABCD$ và $BEFG$ sao cho $B$ nằm trên đoạn $AE$ và $G$ nằm trên đoạn $BC$. Gọi $H$ là giao điểm của các đường thẳng $DF$ và $EG$. Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $DF$ cắt các đường thẳng $AE$ và $BC$ lần lượt tại $I$ và $J$. Chứng minh rằng tứ giác $DIFJ$ là hình vuông.
Valeriu Bărbieru
Cho tam giác nhọn $ABC$, với $AB \neq AC$. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ và $I, J, K$ lần lượt là chân các đường cao kẻ từ $A, B$ và $C$ của tam giác $ABC$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AD$ cắt các đường thẳng $BJ$ và $CK$ lần lượt tại $N$ và $Q$, và đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt các đường thẳng $IJ$ và $IK$ lần lượt tại $M$ và $P$. Chứng minh rằng $MNPQ$ là hình bình hành.
Petru Braica
a) Cho $a, b \in \mathbb{R}$ là hai số thực với $a \lt b$, và $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ là một hàm đơn điệu ngặt sao cho $\int_a^b f(x) dx = 0$. Chứng minh rằng $f(a) \cdot f(b) \lt 0$.
b) Xác định các dãy số thực hội tụ $(a_n)_{n \ge 1}$ sao cho tồn tại một hàm đơn điệu ngặt $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
\int_{a_{n-1}}^{a_n} f(x) \, dx = \int_{a_n}^{a_{n+1}} f(x) \, dx, \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}, n \ge 2.
$$
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $O$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$, $E$ là trung điểm của đoạn $CO$, $M$ là trung điểm của $AC$ và $D$ là trung điểm của $AM$. Gọi $F$ là giao điểm của các đường thẳng $OD$ và $AE$.
Từ một điểm $O$ nằm trong hình vuông $ABCD$, dựng đường thẳng $OS$ vuông góc với mặt phẳng của hình vuông. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là hình chiếu của điểm $O$ lên các mặt phẳng $(SAB), (SBC), (SCD)$ và $(SDA)$. Chứng minh rằng các điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng khi và chỉ khi $O$ nằm trên một trong hai đường chéo của hình vuông.
Cho $m \in \mathbb{N}$, $m \ge 2$ là một số tự nhiên cố định, và $(a_n)_{n \ge 1}$ là một dãy số thực không âm sao cho $a_{n+1} \le a_n - a_{mn}$, $\forall n \ge 1$.
a) Chứng minh rằng dãy $(b_n)_{n \ge 1}$, $b_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ bị chặn trên.
b) Chứng minh rằng dãy $(c_n)_{n \ge 1}$, $c_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 a_k$ bị chặn trên.
