Một hình chữ nhật $ABCD$ được vẽ trên giấy bình phương với các đỉnh của nó tại các điểm mạng và các cạnh của nó nằm dọc theo các đường lưới. $AD = k \; AB$ với $k$ một số nguyên. Chứng minh rằng số đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $C$ bắt đầu dọc theo $AD$ là $k$ lần số bắt đầu $AB$.
Cho 100 điểm trên máy bay. Chứng minh rằng bạn có thể bao phủ chúng bằng một tập hợp các vòng tròn có đường kính tổng cộng nhỏ hơn 100 và khoảng cách giữa hai vòng tròn bất kỳ lớn hơn 1. [Khoảng cách giữa các vòng tròn bán kính $r$ và $s$ với các trung tâm một khoảng cách $d$ ngoài là lớn hơn của 0 và $d - r - s$.]
Cho một tam giác $ABC$. Giả sử điểm $P$ trong không gian sao cho $PH$ là nhỏ nhất trong bốn độ cao của tứ diện $PABC$. locus của $H$ cho tất cả $P$ có thể là gì?
Hai người chơi luân phiên chọn dấu hiệu cho một trong các số $1, 2, \ldots, 20$. Khi một dấu hiệu đã được chọn, nó không thể thay đổi. Người chơi đầu tiên cố gắng giảm thiểu giá trị tuyệt đối cuối cùng của tổng và người chơi thứ hai để tối đa hóa nó. Kết quả là gì (giả sử cả hai người chơi đều chơi hoàn hảo)? Ví dụ: Người chơi có thể chơi liên tiếp: $1$, $20$, $-19$, $18$, $-17$, $16$, $-15$, $14$, $-13$, $12$, $-11$, $10$, $-9$, $8$, $-7$, $6$, $-5$, $4$, $-3$, $2$. Sau đó, kết quả là $12$. Tuy nhiên, trong ví dụ này, người chơi thứ hai đã chơi không tốt!
Cho số thực không âm $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$, chẳng hạn như $a_{i-1} \leq a_i \leq 2a_{i-1}$ cho $i = 2, 3, \ldots, n$. Chứng minh rằng bạn có thể tạo thành một tổng $s = b_1 a_1 + \ldots + b_n a_n$ với mỗi $b_i = +1$ hoặc $-1$, để $0 \leq s \leq a_1$.
Một nhóm trẻ được xếp thành hai hàng bằng nhau. Mọi đứa trẻ ở hàng sau đều cao hơn đứa trẻ đứng trước mặt nó ở hàng ghế kia. Chứng minh rằng điều này vẫn đúng nếu mỗi hàng được sắp xếp lại để trẻ tăng chiều cao từ trái sang phải.
a. $B$ và $C$ nằm trên đoạn thẳng $AD$ với $AB = CD$. Chứng minh rằng với bất kỳ điểm nào $P$ trong mặt phẳng: $PA + PD \geq PB + PC$.
b. cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ trên máy bay sao cho bất kỳ điểm nào $P$ Trên máy bay ta có $PA + PD \geq PB + PC$. Chứng minh rằng $B$ và $C$ nằm trên đoạn thẳng $AD$ với $AB = CD$.
Khoảng cách từ $A$ đến $B$ là $d$ km. Một máy bay $P$ đang bay với tốc độ, độ cao và hướng không đổi từ $A$ đến $B$. Trong khoảng thời gian 1 giây, góc $PAB$ thay đổi theo độ $\alpha$ và góc $PBA$ theo độ $\beta$. Tốc độ tối thiểu của máy bay là bao nhiêu?
Một đồ thị có ít nhất ba đỉnh. Với ba đỉnh bất kỳ $A$, $B$, $C$ của đồ thị, chúng ta có thể tìm thấy một đường dẫn từ $A$ đến $B$ không đi qua $C$. Chứng minh rằng chúng ta có thể tìm thấy hai đường dẫn rời rạc từ $A$ đến $B$. [Đồ thị là một tập hợp hữu hạn các đỉnh sao cho mỗi cặp đỉnh riêng biệt có một hoặc một cạnh nối các đỉnh. Một đường dẫn từ $A$ đến $B$ là một chuỗi các đỉnh $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ sao cho $A = A_1$, $B = A_n$ và có một cạnh giữa $A_i$ và $A_{i + 1}$ cho $i = 1$, $2$, ..., $n-1$. Hai đường dẫn từ $A$ đến $B$ là khác nhau nếu các đỉnh duy nhất mà chúng có chung là $A$ và $B$.]
Có một số lượng lính lẻ trong một cuộc tập trận. Khoảng cách giữa mỗi cặp lính là khác nhau. Mỗi người lính theo dõi người hàng xóm gần nhất của mình. Chứng minh rằng ít nhất một người lính không bị theo dõi.