Cho tam giác nhọn $ABC$ và gọi $O$ là đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi $O'$ là đường tròn tiếp xúc với $O$ tại $A$ và tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. Đường tròn $O'$ cắt các đường thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Đường tròn $O'$ cắt các đường thẳng $OO'$ và $EO'$ lần lượt tại $A' (\neq A)$ và $G (\neq E)$. Các đường thẳng $BO$ và $A'G$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng $DF^2 = AF \cdot GH$.
Xét mười sáu viên gạch được cố định trên tường như hình dưới đây. Có bao nhiêu cách viết số $0$ hoặc $1$ lên mỗi viên gạch sao cho tích của hai số viết trên mỗi cặp viên gạch kề nhau (có chung một cạnh) luôn bằng $0$?
Với đỉnh $A$ của $\triangle ABC$, định nghĩa $\ell_A$ là khoảng cách giữa hai chân đường vuông góc hạ xuống các cạnh $AB$ và $AC$ từ giao điểm của đường phân giác góc $\angle A$ với cạnh $BC$. Tương tự, định nghĩa $\ell_B$ và $\ell_C$ cho các đỉnh $B$ và $C$. Chứng minh bất đẳng thức
$$
\frac{\ell_A \ell_B \ell_C}{\ell^3} \le \frac{1}{64}
$$
trong đó $\ell$ là chu vi của $\triangle ABC$.
Cho hàm số $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thỏa mãn
$$
k f(n) \le f(kn) \le k f(n) + k - 1
$$
với mọi $k, n \in \mathbb{N}$, trong đó $\mathbb{N}$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương.
(1) Chứng minh rằng, với mọi $a, b \in \mathbb{N}$,
$$
f(a) + f(b) \le f(a + b) \le f(a) + f(b) + 1.
$$
(2) Chứng minh rằng, nếu $f$ thỏa mãn
$$
f(2007n) \le 2007 f(n) + 2005
$$
với mọi $n \in \mathbb{N}$, thì tồn tại $c \in \mathbb{N}$ sao cho $f(2007c) = 2007 f(c)$.
Với bốn điểm không đồng phẳng, một mặt phẳng cân bằng là một mặt phẳng sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đến mặt phẳng đó đều bằng nhau. Cho một tập hợp bốn điểm không đồng phẳng, có bao nhiêu mặt phẳng cân bằng?
Cho $a_{n}=1+n^{3}$ là dãy số $\{2,9,28,65, \ldots\}$ và $\delta_{n}=\gcd\left(a_{n+1}, a_{n}\right)$. Tìm giá trị lớn nhất mà $\delta_{n}$ có thể nhận.
Một đa diện lồi có các mặt gồm 12 hình vuông, 8 hình lục giác đều và 6 hình bát giác đều. Tại mỗi đỉnh của đa diện có đúng một hình vuông, một hình lục giác và một hình bát giác gặp nhau. Có bao nhiêu đoạn thẳng nối các cặp đỉnh của đa diện nằm bên trong nó, tức là không phải cạnh và cũng không nằm trong một mặt nào?
Giải, trong tập hợp các số thực, hệ phương trình
$$
\left.\begin{array}{l}
y^{3}-6 x^{2}+12 x-8=0 \\
z^{3}-6 y^{2}+12 y-8=0 \\
x^{3}-6 z^{2}+12 z-8=0
\end{array}\right\}
$$
Cho tam giác $ABC$ và các điểm $D$, $E$, $F$ lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $AC$, $BA$, $CB$ sao cho các đoạn thẳng $AF$, $BD$, $CE$ đồng quy tại một điểm $P$ nằm bên trong tam giác. Biết $BP = 6$, $PD = 6$, $PC = 9$, $PE = 3$ và $AF = 20$. Tìm diện tích của tam giác $ABC$.
Cho $P$ là một điểm nằm bên trong tam giác $ABC$. Qua $P$ kẻ các đường song song $KP$, $MP$ và $NP$ lần lượt với các cạnh $AB$, $AC$ và $BC$, chúng chia tam giác ban đầu thành ba tam giác và ba hình bình hành. Gọi $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ là diện tích của các tam giác mới và $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
$$
S \leq 3\left(S_{1}+S_{2}+S_{3}\right)
$$
Chứng minh rằng, trong một tam giác, khoảng cách từ một đỉnh bất kỳ đến trực tâm bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh đó.
Cho $ABCD$ là hình thang với $AB \parallel CD$ và $AB \gt CD$. Các điểm $K$ và $L$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB$ và $CD$ sao cho $\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{DL}{LC}$. Các điểm $P$ và $Q$ nằm trên đoạn thẳng $KL$ sao cho
$$
\angle APB = \angle BCD \quad \text{và} \quad \angle CQD = \angle ABC
$$
Chứng minh rằng bốn điểm $P$, $Q$, $B$, $C$ cùng nằm trên một đường tròn.
Ta gọi hai người là một cặp bạn bè nếu họ quen nhau, và gọi họ là một cặp không phải bạn bè nếu họ không quen nhau (quen hay không quen luôn có tính hai chiều). Cho $m, n$ là các số tự nhiên. Tìm số tự nhiên $k$ nhỏ nhất sao cho điều sau đây đúng: trong mọi nhóm gồm $k$ người luôn có $2 m$ người tạo thành $m$ cặp bạn bè đôi một rời nhau, hoặc có $2 n$ người tạo thành $n$ cặp không phải bạn bè đôi một rời nhau.
