Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 2008

Alice tung hai con xúc xắc tám mặt, mỗi con có các số $2,3,4,5,6,7,8,9$. Xác suất để tổng hai con xúc xắc bằng $11$ là bao nhiêu?

Cho $a_{0} = \frac{6}{7}$ và
$$
a_{n+1} = \begin{cases}2 a_{n} & \text{ nếu } a_{n} \lt \frac{1}{2} \\ 2 a_{n} - 1 & \text{ nếu } a_{n} \geq \frac{1}{2}\end{cases}
$$
Tìm $a_{2008}$.

Xét một hình nón tròn xoay có đỉnh $V$, và cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn đáy của hình nón sao cho $AB$ là đường kính và $AC = BC$. Gọi $L$ là điểm trên $BV$ sao cho thể tích hình nón bằng 4 lần thể tích tứ diện $ABCL$. Tìm giá trị của $BL / LV$.

Tìm số tập con $S$ của $\{1,2, \ldots, 63\}$ sao cho tổng các phần tử của $S$ bằng $2008$.

Tìm tổng của tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n$ chia hết $n^{2}+n+2$.

Cho $f(r) = \sum_{j=2}^{2008} \frac{1}{j^{r}} = \frac{1}{2^{r}} + \frac{1}{3^{r}} + \cdots + \frac{1}{2008^{r}}$. Tính $\sum_{k=2}^{\infty} f(k)$.

Al có một hình chữ nhật với các cạnh có độ dài nguyên $a$ và $b$ và diện tích $1000$. Chu vi nhỏ nhất có thể của hình chữ nhật đó là bao nhiêu?

Giải hệ phương trình sau để tìm $w$.
$$
\begin{aligned}
& 2w + x + y + z = 1 \\
& w + 2x + y + z = 2 \\
& w + x + 2y + z = 2 \\
& w + x + y + 2z = 1
\end{aligned}
$$

Cho một hình nón (vô hạn) $\mathcal{C}$ có đỉnh $A$ và một mặt phẳng $\pi$. Giao của $\pi$ và $\mathcal{C}$ là một elip $\mathcal{E}$ với trục lớn $BC$, trong đó $B$ gần $A$ hơn $C$, và $BC = 4$, $AC = 5$, $AB = 3$. Giả sử ta đặt một mặt cầu nội tiếp trong mỗi phần của $\mathcal{C}$ bị $\mathcal{E}$ chia ra, sao cho cả hai mặt cầu đều tiếp xúc với $\mathcal{E}$. Tỉ số bán kính của hai mặt cầu (nhỏ trên lớn) bằng bao nhiêu?

Tìm số các số nguyên tố phân biệt là ước của $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 9 \cdot 10$.

Cho $P(x)$ là đa thức bậc $2008$ với hệ số cao nhất bằng $1$ sao cho
$$
P(0)=2007,\ P(1)=2006,\ P(2)=2005,\ \ldots,\ P(2007)=0.
$$
Xác định giá trị của $P(2008)$. Có thể dùng giai thừa trong đáp số.

Tính tổng vô hạn $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+4}$.

Bạn có một lưới $2 \times 3$ được điền các số nguyên từ $1$ đến $9$. Các số trong mỗi hàng và mỗi cột đều đôi một khác nhau, hàng đầu có tổng bằng $23$, và các cột có tổng lần lượt là $14$, $16$ và $17$.

| | $14$ | $16$ | $17$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $23$ | $a$ | $b$ | $c$ |
| | $x$ | $y$ | $z$ |

Giá trị của $x+2y+3z$ là bao nhiêu?

Trong một chương trình trò chơi truyền hình, Bob đứng trước 7 cánh cửa, trong đó 2 cửa giấu giải thưởng. Sau khi Bob chọn một cửa, người dẫn chương trình mở ba cửa khác, trong đó có một cửa giấu giải thưởng. Bob quyết định đổi sang một cửa khác. Xác suất để cửa mới của Bob giấu giải thưởng là bao nhiêu?

Một con mèo leo lên một cầu thang có mười bậc. Tuy nhiên, thay vì đi từng bậc một, con mèo nhảy, mỗi bước nhảy lên hai hoặc ba bậc (nhưng nếu cần thì nó sẽ chỉ đi bước cuối cùng lên một bậc). Có bao nhiêu cách khác nhau để con mèo đi từ chân cầu thang lên đến đỉnh?

Nếu $p$ và $q$ là các số nguyên dương và $\frac{2008}{2009} \lt \frac{p}{q} \lt \frac{2009}{2010}$, thì giá trị nhỏ nhất của $p$ là bao nhiêu?

Điểm $A$ có tọa độ $(0,4)$ và điểm $B$ có tọa độ $(3,8)$. Tìm hoành độ của điểm $X$ trên trục hoành sao cho $\angle A X B$ lớn nhất.

Xác định hai chữ số tận cùng của $17^{17}$ viết trong hệ thập phân.

Giải phương trình
$$
\sqrt{x+\sqrt{4 x+\sqrt{16 x+\sqrt{\ldots+\sqrt{4^{2008} x+3}}}}}-\sqrt{x}=1
$$
Biểu diễn đáp số dưới dạng phân số tối giản, với tử số và mẫu số được viết dưới dạng phân tích ra thừa số nguyên tố.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, tức $\angle A = 90^{\circ}$. Gọi $D$ là trung điểm của $AB$ và $E$ là điểm trên đoạn $AC$ sao cho $AD = AE$. Gọi $F$ là giao điểm của $BE$ và $CD$. Nếu $\angle BFC = 135^{\circ}$, hãy xác định $BC / AB$.