MathNet 2026 — Phần 09

Xác định tất cả các số nguyên $n$ mà $n^{2}+15$ là bình phương của một số nguyên.

Tìm giá trị chính xác của $1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\ldots}}}}$.

Một số trọng lượng được đưa ra, mỗi trọng lượng không nặng hơn $1 \mathrm{lb}$. Được biết, chúng không thể được chia thành hai nhóm sao cho trọng lượng của mỗi nhóm lớn hơn $1 \mathrm{lb}$. Tìm tổng trọng lượng tối đa có thể của các trọng lượng này.

Đất nước của Squareland có hình dạng như một hình vuông và được chia thành các thành phố hình vuông tương xứng $64$. Chúng tôi muốn chia Squareland thành các tiểu bang và chỉ định cho mỗi tiểu bang một thành phố thủ đô để các quy tắc sau được thỏa mãn:
a. Mọi thành phố đều nằm hoàn toàn trong một tiểu bang.
b. Cho hai tiểu bang bất kỳ, số lượng thành phố trong đó khác nhau tối đa là $1$.
c. Bất kỳ thành phố nào trong một tiểu bang chia sẻ ít nhất một góc với vốn của tiểu bang. Số trạng thái nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?

Một số nguyên được gọi là đáng gờm nếu nó có thể được viết dưới dạng tổng các lũy thừa riêng biệt của $4$, và thành công nếu nó có thể được viết dưới dạng tổng các lũy thừa riêng biệt của $6$. $2005$ có thể được viết dưới dạng tổng của một con số đáng gờm và một con số thành công không? chứng minh câu trả lời của bạn.

Xác định xem có tồn tại hai tập hợp con hữu hạn khác biệt $A$ và $B$ của thực tế sao cho mọi đa thức $f$ của độ $2012$ với hệ số thực, $$
\sum_{x \in A} f(x) = \sum_{x \in B} f(x)
$$

Cho một tứ giác $ABCD$, chứng tỏ rằng trung điểm của bốn cạnh của nó tạo thành các đỉnh của hình bình hành.

Cho $n \geq 1$ là một số nguyên. Có bao nhiêu cách hình chữ nhật có đỉnh $(0,0)$, $(n, 0)$, $(n, 1)$, $(0,1)$ được mổ xẻ thành $2n$ tam giác, tất cả các đỉnh đều có tọa độ số nguyên? Các hình tam giác được coi là vị trí trên mặt phẳng tọa độ; Đặc biệt, các gạch ốp lát liên quan bằng cách quay và phản xạ được coi là khác biệt.

Tìm tất cả các giải pháp số nguyên cho $x y = 2003(x + y)$

Nếu $k$ là số nguyên, hãy chứng minh rằng số $k^{2}+k+1$ không chia hết cho $2006$.

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số nguyên $a, b, c$ và $k$ thỏa mãn các phương trình $$
\begin{aligned}
& a^{2}+b^{2}+c^{2}=p \\
& a^{4}+b^{4}+c^{4}=k p .
\end{aligned}
$$

Alice, Bob và Charlie mỗi người chọn ngẫu nhiên một số gồm 2 chữ số. Xác suất để tất cả các chữ số hàng chục của số của chúng khác nhau với các chữ số hàng chục của nhau và tất cả các chữ số của tất cả các số của chúng khác với các chữ số của nhau là bao nhiêu?

Giả sử bạn có số xu không giới hạn, niken, dimes và quý. Xác định số cách để kiếm 30 xu bằng cách sử dụng các đồng tiền này.

Bart chỉ có 17 và 19 đô la.
a. chứng minh rằng những hóa đơn này là giả.
b. chứng minh rằng tồn tại $m\gt 0$ sao cho mỗi $n \geq m$ BART có thể cung cấp cho Lisa chính xác $n$ bằng cách sử dụng các hóa đơn của mình.

Cho $ABC$ là một tam giác sao cho $\angle A = 90^{\circ}$ và $\angle B \lt \angle C$. Tiếp tuyến tại $A$ với đường tròn ngoại tiếp $\omega$ của nó gặp đường $BC$ tại $D$. Cho $E$ là sự phản chiếu của $A$ qua $BC$, $X$ chân của đường vuông từ $A$ đến $BE$ và $Y$ điểm giữa của $AX$. Cho dòng $BY$ gặp lại $\omega$ tại $Z$. Chứng minh rằng đường thẳng $BD$ là tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADZ$.

Nếu $\frac{1}{9}$ của $60$ là $5$ thì $\frac{1}{20}$ của $80$ là gì?

Tìm số số không thực của $x^{3}-x^{2}-x+2$.

Cho $A O B$ là góc $60$. Đối với bất kỳ điểm nào $P$ trong nội thất của $\angle A O B$, hãy để $A'$ và $B'$ là chân của các đường vuông góc từ $P$ đến $A O$ và $B O$ tương ứng. Biểu thị bằng $r$ và $s$ khoảng cách $O P$ và $A' B'$. Tìm tất cả các cặp số thực có thể có $(r, s)$.

Chứng minh rằng
$$
tan \left(\frac{3 \pi}{11}\right)+4 \sin \left(\frac{2 \pi}{11}\right)=\sqrt{11}
$$

Sau khi đi bộ nhiều đến mức chân của anh ấy thực sự mệt mỏi, hải ly loạng choạng để, ở mỗi bước, tọa độ của anh ấy thay đổi bằng $(+1,+1)$ hoặc $(+1,-1)$. Bây giờ anh ta đi từ $(0,0)$ đến $(8,0)$ mà không bao giờ đi xuống dưới trục $x$. Có bao nhiêu con đường như vậy?