Cho $$
A = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : xyz = 1,\ x + y + z = 3 \},
$$ dưới hàm $$
F(x, y, z) = xy + yz + zx.
$$ xác định hình ảnh của bộ $A$ dưới $F$.
Cho $ABCD$ là hình vuông. Đoạn thẳng $AB$ được chia nội bộ tại $H$ để $|AB| \cdot |BH| = |AH|^2$. Gọi $E$ là trung điểm của $AD$ và $X$ là trung điểm của $AH$. Cho $Y$ là điểm trên $EB$ sao cho $XY$ vuông góc với $BE$. Chứng minh rằng $|XY| = |XH|$.
Giả sử $a$, $b$, $c$ là độ dài cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $$
\frac{a}{1+a}, \frac{b}{1+b}, \frac{c}{1+c}
$$ cũng là độ dài cạnh của một tam giác.
Một hình tam giác * ABC * được nội tiếp trong một đường tròn, tâm * O * và $D$, $E$, $F$ là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$ tương ứng. Điểm $A$ được tự do di chuyển trên chu vi của đường tròn. Tìm quỹ tích của $L$, trung điểm của $FE$.
Giả sử $a$, $b$, $c$ là số thực như $a + b + c = 0$ và $a^2 + b^2 + c^2 = 1$. Chứng minh rằng $$
a^2 b^2 c^2 \leq \frac{1}{54}
$$ và xác định các trường hợp bình đẳng.
Gọi $(a_n)$ là "dãy Fibonacci lặp lại": $a_n = f(f(n))$, trong đó $f(1) = f(2) = 1$ và $f(n+2) = f(n+1) + f(n)$. Chứng minh rằng $a_n$ là bội số của 144 bất cứ khi nào là bội của 14.
Một điểm cố định $O$ được nối với bất kỳ điểm nào $P$ trên một đường thẳng nhất định không chứa $O$. Trên $OP$ một điểm $Q$ được lấy sao cho $|OP| \cdot |OQ|$ là không đổi. Hiển thị $Q$ nằm trên một đường tròn cố định nếu $P$ thay đổi. Kiểm tra tất cả các trường hợp có thể.
Cho $p(x)$ là đa thức với hệ số hữu tỉ. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $n$ sao cho đa thức $q(x)$ được xác định bởi $$
q(x) = p(x + n) - p(x)
$$ có hệ số số nguyên.
Trong tam giác $ABC$ ta có $|AB| \lt |AC|$. Các phân giác của các góc tại $B$ và $C$ gặp $AC$ và $AB$ tại $D$ và $E$ tương ứng. Các đường $BD$ và $CE$ giao nhau tại tâm nội tiếp $I$ của $\triangle ABC$. Chứng minh rằng $\angle BAC = 60^\circ$ nếu và chỉ khi $|IE| = |ID|$.
Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và cho $M$ là một điểm trên đường tròn. Hãy xem xét các hình chiếu của điểm $M$ trên hai cạnh đối diện của tứ giác và trên các đường chéo của nó. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua bốn điểm này nếu và chỉ khi tứ giác là hình thang.
Cho $ABC$ là tam giác phẳng. Cho $\lambda \ge 0$. Xác định điểm $D(\lambda)$ bên cạnh $BC$ sao cho $D(\lambda)$ chia $BC$ theo tỷ lệ $c^\lambda : b^\lambda$. Chứng minh rằng $$
|AD(\lambda)| \le |AD(2 - \lambda)| \quad \text{iff} \quad \lambda \ge 1.
$$
Cho $S$ là một tập hợp các điểm khác nhau của $n$ để không có ba điểm nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng có ít nhất $\frac{n(n-2)}{3}$ có đỉnh nằm trong số các điểm của $S$ và sao cho các tam giác không chứa bất kỳ điểm nào khác của $S$.
Giả sử $r$, $R$ là bán kính trong và bán kính của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $$
9r \le a \sin B + b \sin C + c \sin A \le \frac{9R}{2}.
$$ với sự bình đẳng trong cả hai bất đẳng thức IFF $ABC$ là đều.
a) cho mỗi số nguyên $a$ không chia hết cho $7$, hãy để $N(a)$ biểu thị ít nhất trong số tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $49$ chia $a^n - 1$. Đối với mỗi số nguyên dương $N$, hãy cho $A_N := \{a \in \mathbb{Z} : 0 \lt a \lt 49 \text{ và } N(a) = N\}$. Chứng minh rằng $$
\begin{aligned}
|A_1| &= |A_2| = 1, & |A_3| &= |A_6| = 2, \\
|A_7| &= |A_{14}| = 6, & |A_{21}| &= |A_{42}| = 12
\end{aligned}
$$ và $A_N = \emptyset$ cho tất cả các giá trị khác của $N$.
b) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho $2009$ chia $a^n - 1$ cho tất cả các số nguyên $a$ nguyên tố cùng nhau $2009$.