MathNet 2026 — Phần 11

Có bao nhiêu sự kết hợp khác nhau của 4 viên bi có thể được tạo ra từ 5 viên bi đỏ không thể phân biệt được, 4 viên bi xanh không thể phân biệt và 2 viên bi đen không thể phân biệt được?

Chứng minh rằng $$
A=\sqrt{4-2 \sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}
$$ là một số nguyên.

Cho $\omega$ là hình tròn có đường kính $A B$. Một đường tròn $\gamma$, có trung tâm $C$ nằm trên $\omega$, là tiếp tuyến với $A B$ tại $D$ và cắt $\omega$ tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng tam giác $C E F$ và $D E F$ có cùng diện tích.

Gọi $ABC$ là một tam giác đều, và đặt $P$ là một điểm trên $\operatorname{arc} BC$ nhỏ của đường tròn ngoại tiếp $ABC$. Chứng minh rằng $PA = PB + PC$.

Gọi $D$ là giao điểm của hai đường tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp tuyến với $BC$ tại $B$ cắt đường trung tuyến đi qua $A$ của tam giác $ABC$ tại $G$. Các dòng $BG$, $CG$ Giao nhau $CD$, $BD$ lần lượt tại $E, F$.
a) Đường đi qua trung điểm của $BE$ và $CF$ cắt $BF$, $CE$ tại $M, N$ tương ứng. Chứng minh rằng các điểm $A, D, M$ và $N$ nằm trên cùng một đường tròn. Các dòng
b) $AD, AG$ cắt đường tròn ngoại tiếp $DBC, GBC$ lần lượt tại $H, K$. Các đường trung trực của $HK, HE$, và $HF$ cắt $BC, CA$ và $AB$ tại $R, P$ và $Q$ tương ứng. Chứng minh rằng các điểm $R, P$ và $Q$ là thẳng hàng.

Cho $ABC$ là một tam giác và $N$ là một điểm khác với $A$, $B$ và $C$. Cho $A_b$ là sự phản chiếu của $A$ thông qua $NB$ và $B_a$ là sự phản chiếu của $B$ thông qua $NA$. Chúng tôi định nghĩa $B_c$, $C_b$, $A_c$ và $C_a$ tương tự. Gọi $m_a$ là đường đi qua $N$ và vuông góc với $B_cC_b$. Xác định $m_b$, $m_c$ Tương tự.
a) Giả sử rằng $N$ là trực tâm của tam giác $ABC$, cho thấy rằng các phản xạ tương ứng của các đường $m_a$, $m_b$ và $m_c$ qua mỗi phân giác của các góc $\angle BNC$, $\angle CNA$ và $\angle ANB$ là trùng hợp.
b) Giả sử rằng $N$ là tâm điểm chín của tam giác $ABC$, chứng tỏ rằng các phản xạ tương ứng của các đường $m_a$, $m_b$ và $m_c$ thông qua các dòng $BC$, $CA$ và $AB$ đồng tình.

Một số ô vuông của bảng $n \times n$ $(n\gt 2)$ màu đen, còn lại là màu trắng. Trong mỗi ô vuông màu trắng, chúng ta viết số của tất cả các ô vuông màu đen có ít nhất một đỉnh chung với nó. Tìm tổng tối đa có thể của tất cả các số này. Câu trả lời là $3 n^{2}-5 n+2$.

Trong một tam giác scale $A B C$, $I$ là tâm nội tiếp và $C N$ là phân giác của góc $C$. Dòng $C N$ gặp lại đường tròn $A B C$ tại $M$. Dòng $\ell$ song song với $A B$ và chạm vào đường tròn của $A B C$. Điểm $R$ trên $\ell$ là $C I \perp I R$. Đường tròn của $M N R$ gặp lại dòng $I R$ tại $S$. Chứng minh rằng $A S = B S$.

Tìm tất cả các chức năng $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ sao cho $f(4x+3y) = f(3x+y) + f(x+2y)$ cho tất cả các số nguyên $x$ và $y$.