Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 2004

Gọi $O$ là tâm đường tròn và $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $A B C$. Chứng minh rằng diện tích của một trong các tam giác $A O H$, $B O H$ và $C O H$ bằng tổng diện tích của hai tam giác còn lại.

Xác định tất cả các tập hữu hạn khác rỗng $S$ của các số nguyên dương thỏa mãn
$$
\frac{i+j}{(i, j)} \quad \text{là một phần tử của} S \text{cho tất cả} i, j \text{trong} S,
$$
trong đó $(i, j)$ là ước chung lớn nhất của $i$ và $j$.

Chứng minh rằng
$$
\left(a^{2}+2\right)\left(b^{2}+2\right)\left(c^{2}+2\right) \geq 9(ab+bc+ca)
$$
với mọi số thực $a, b, c \gt 0$.

Đối với số thực $x$, hãy đặt $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x$. Chứng minh rằng
$$
\left\lfloor\frac{(n-1)!}{n(n+1)}\right\rfloor
$$
là số chẵn với mọi số nguyên dương $n$.

Cho một tập hợp $S$ gồm 2004 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi $\mathcal{L}$ là tập hợp tất cả các đường thẳng (kéo dài vô tận theo cả hai hướng) được xác định bởi các cặp điểm trong tập hợp đó. Chứng minh rằng có thể tô màu các điểm của $S$ với tối đa hai màu, sao cho với mọi điểm $p, q$ của $S$, số đường thẳng trong $\mathcal{L}$ tách $p$ khỏi $q$ là số lẻ khi và chỉ nếu $p$ và $q$ có cùng màu.

Lưu ý: Đường thẳng $\ell$ phân cách hai điểm $p$ và $q$ nếu $p$ và $q$ nằm đối diện nhau của $\ell$ không có điểm nào trên $\ell$.

Xác định các số nguyên dương $n$ sao cho tập hợp tất cả các ước dương của $30^n$ có thể chia thành các nhóm ba sao cho tích của ba số trong mỗi nhóm bằng nhau.

Trên pizarrón có viết một số có 100 chữ số với ba chữ số cuối ở bên phải bằng $999$. Dưới con số này, sử dụng chính xác các chữ số giống nhau nhưng theo một thứ tự khác, Luciano viết một số mới gồm 100 chữ số: để lại ba chữ số $999$ cuối cùng và tự nguyện đổi các chữ số $97$ đầu tiên. Thao tác này được lặp lại nhiều lần cho đến khi số chữ số $100$ được ghi trên biểu tượng $99$. Tiếp theo, cộng các số $99$ này và chia chúng cho $72$. Tính số dư của phép chia mà Luciano thực hiện.

Có một bảng hình vuông $8 \times 8$ được chia thành các ô vuông $1 \times 1$. Viết vào mỗi ô vuông một $1$ hoặc $2$ sao cho trong mỗi ô vuông của $3 \times 3$ tổng các số $9$ là bội số của $4$, nhưng tổng các số $64$ trên bảng không phải là bội số của $4$.

Sử dụng các hình tam giác đều bằng bìa cứng có cạnh $1$, một tam giác đều có cạnh $2^{2004}$ được tạo thành. Từ tam giác này, rút ​​ra tam giác nhỏ có cạnh $1$ có tâm trùng với tâm của tam giác lớn hơn.

Xác định xem có thể che phủ hoàn toàn bề mặt còn lại mà không bị chồng lên nhau hoặc có khoảng trống hay không nếu chỉ có các mảnh có dạng hình thang cân, mỗi mảnh được tạo thành từ ba hình tam giác đều có cạnh $1$.

Các số nguyên $2003$ từ $1$ đến $2003$ được viết trên bảng. Lucas phải xóa số $90$. Tiếp theo, Mauro phải chọn $37$ từ những con số vẫn được viết. Nếu các số $37$ mà Mauro chọn tạo thành một cấp số cộng, Mauro sẽ thắng. Nếu không, Lucas thắng.
Quyết định xem Lucas có thể chọn số $90$ để xóa để đảm bảo chiến thắng hay không.

Chúng ta xem xét các số nguyên $n$ của năm 2004, từ 1 đến 2004. Xác định xem có bao nhiêu giá trị trong số các giá trị này của $n$, xác minh rằng số $n^3+3^n$ là bội số của 5.

Hình thang $ABCD$ của các đáy $AB$ và $CD$, và các cạnh không song song $BC$ và $DA$, có $\angle A=90^\circ$, $AB=6$, $CD=3$ và $AD=4$. Gọi $E$, $G$, $H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC$, $ACD$, $ABD$. Tìm diện tích tam giác $EGH$.

**LÀM RÕ:** Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của các cạnh.

Cho đường tròn $C$ và một điểm $P$ bên ngoài đường tròn đó, hai tiếp tuyến của đường tròn được vẽ thông qua $P$, với $A$ và $B$ là các điểm tiếp tuyến.
Điểm $Q$ lấy trên cung nhỏ $AB$ của $C$. Gọi $M$ là giao điểm của đường $AQ$ với đường vuông góc với $AQ$ được vẽ bởi $P$ và gọi $N$ là giao điểm của đường $BQ$ với đường vuông góc với $BQ$ được vẽ bởi $P$.
Chứng minh rằng, bằng cách thay đổi $Q$ trong cung $AB$, tất cả các đường thẳng $MN$ đều đi qua cùng một điểm.

Các đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác lồi $ABCD$ cắt nhau tại $E$ và $\frac{CE}{AC} = \frac{3}{7}$, $\frac{DE}{BD} = \frac{4}{9}$. Gọi $P$ và $Q$ là các điểm chia đoạn $BE$ thành ba phần bằng nhau, với $P$ nằm giữa $B$ và $Q$, và gọi $R$ là trung điểm của đoạn $AE$. Tính $\frac{\text{khu vực}(APQR)}{\text{khu vực}(ABCD)}$.

Cho một đường tròn có tâm $O$, bốn đường tiếp tuyến được vẽ vào đường tròn sao cho bốn đường thẳng này xác định hình thang $ABCD$, với các đáy $AB$ và $CD$, và các cạnh không song song $BC$ và $DA$. Nếu $AO = 2\sqrt{6}$, $BO = 4\sqrt{3}$ và $CO=4$ hãy tính số đo các cạnh và các góc của hình thang.

Cho $a \geq 4$ là số nguyên dương. Xác định giá trị nhỏ nhất của $n \geq 5$ sao cho $a$ có thể biểu diễn dưới dạng
$$
\sigma = \frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{x_1 x_2 \dots x_n}
$$
để có sự lựa chọn đúng đắn về số nguyên dương $n$ $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Arnaldo chọn một số $a$, $a \ge 0$ và Bernaldo chọn một số $b$, $b \ge 0$. Cả hai đều bí mật nói số mình đã chọn cho Cernaldo, người viết lên bảng đen các số $5$, $8$ và $15$, một trong số đó là tổng $a + b$.
Cernaldo rung chuông và Arnaldo và Bernaldo lần lượt viết lên những mảnh giấy riêng biệt xem họ có biết số nào trên bảng là tổng của $a$ và $b$ rồi đưa chúng cho Cernaldo.
Nếu KHÔNG được viết trên cả hai mảnh giấy, Cernaldo sẽ rung chuông lần nữa và quá trình này được lặp lại.
Arnaldo và Bernaldo được biết đến là những người chân thành và thông minh.
Bạn có thể rung chuông tối đa bao nhiêu lần cho đến khi một trong số họ viết rằng họ biết giá trị của tổng?

Có một bảng hình chữ nhật $5 \times 50$, được chia thành các ô vuông $1 \times 1$ và các quân domino $1 \times 2$, mỗi ô có hai số được viết trên đó: $1$ và $-1$, mỗi nửa một số. Mỗi domino bao phủ chính xác hai ô vuông lân cận trên bảng. Gabriel phải che bảng bằng những quân cờ này, không có khoảng trống hoặc chồng chéo và sao cho trong mỗi hàng của bảng, phép nhân của các số $50$ là dương và trong mỗi cột của bảng, phép nhân của các số $5$ là dương.

Quyết định xem Gabriel có thể làm được không. Nếu bo mạch là từ $5 \times 100$ thì sao?

Nếu có, hãy cho biết bảng được che phủ như thế nào. Nếu không, hãy giải thích tại sao.

Số nguyên dương $n$ có đúng 18 ước số dương, bao gồm $1$ và $n$. Các ước số của $n$ được đánh số từ nhỏ nhất đến lớn nhất (số đầu tiên là $1$ và số thứ mười tám là $n$) và số thứ sáu trong số các ước số này được ký hiệu là $x$. Được biết, ước số thứ mười ba nhân với tổng của số thứ nhất cộng với số thứ hai cộng với số chia thứ năm sẽ bằng ước số $x+1$. Tìm $n$.

Cho $m$, $n$ là số nguyên dương. Trên bảng $m+n$ được chia thành các ô vuông $1 \times 1$, chúng tôi xem xét tất cả các đường dẫn từ đỉnh trên bên phải đến đỉnh dưới bên trái, đi qua các đường lưới chỉ theo các hướng $\leftarrow$ và $\downarrow$.

Diện tích của một đường dẫn được xác định bằng số ô vuông trên bảng bên dưới đường dẫn đó. Nếu $p$ là số nguyên tố như $r_p(m) + r_p(n) \ge p$, trong đó $r_p(m)$ biểu thị phần dư của phép chia $m$ cho $p$ và $r_p(n)$ biểu thị phần dư của phép chia $n$ cho $p$.

Có bao nhiêu con đường có bội số diện tích của $p$?