Cho $n$ điểm trong không gian sao cho tam giác được tạo thành từ ba điểm bất kỳ có góc lớn hơn $120$ độ. Chứng minh rằng các điểm có thể được gắn nhãn $1, 2, 3, \ldots, n$ sao cho góc được xác định bởi $i$, $i+1$, $i+2$ lớn hơn $120$ độ cho $i = 1, 2, \ldots, n-2$.
Với phương trình $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$, người chơi đầu tiên đưa ra một trong số $a$, $b$, $c$ là một giá trị nguyên. Sau đó, người chơi thứ hai cung cấp cho một trong các hệ số còn lại một giá trị nguyên, và cuối cùng người chơi đầu tiên cung cấp cho hệ số còn lại một giá trị nguyên. Mục tiêu của người chơi đầu tiên là đảm bảo rằng phương trình có ba nghiệm nguyên (không nhất thiết phải khác biệt). Mục tiêu của người chơi thứ hai là ngăn chặn điều này. Ai thắng?
Mỗi thành phố ở một tiểu bang nhất định được kết nối trực tiếp bằng đường hàng không với nhiều nhất ba thành phố khác trong tiểu bang, nhưng người ta có thể đi từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố nào khác với nhiều nhất là một lần thay đổi máy bay. Số lượng thành phố tối đa có thể là bao nhiêu?
Cho số dương $a$, $b$, $c$, $d$ Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất bình đẳng không giữ: $a + b \lt c + d$ ; $(a + b)(c + d) \lt ab + cd$; $(a + b)cd \lt ab(c + d)$.
$n$ là một số nguyên. Chứng minh rằng tổng của tất cả các phân số $1/rs$, trong đó $r$ và $s$ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $0 \lt r \lt s \leq n$, $r + s \gt n$, là $1/2$.
Một dãy hữu hạn 0 và 1 có các tính chất sau: (1) Đối với bất kỳ $i \lt j$ nào, các dãy có độ dài 5 bắt đầu ở vị trí $i$ và vị trí $j$ là khác nhau; (2) Nếu bạn thêm một chữ số ở đầu hoặc cuối của chuỗi, thì (1) không còn giữ nữa. Chứng minh rằng 4 chữ số đầu tiên của dãy số bằng 4 chữ số cuối cùng.
Cho một ngũ giác có cạnh bằng nhau.
(a) Chứng minh rằng có một điểm $X$ trên đường chéo dài nhất sao cho mỗi bên đều phụ thuộc vào một góc ở nhiều nhất $90$ tại $X$.
(b) chứng minh rằng 5 vòng tròn có đường kính một bên của Ngũ Giác Đài không che hình ngũ giác.
Một con sói ở trung tâm của một cánh đồng hình vuông và có một con chó ở mỗi góc. Sói có thể chạy bất cứ nơi nào trên cánh đồng, nhưng những con chó chỉ có thể chạy dọc theo hai bên. Tốc độ của những con chó là $\frac{3}{2}$ gấp đôi tốc độ của con sói. Sói có thể giết một con chó duy nhất, nhưng hai con chó cùng nhau có thể giết con sói. Chứng minh rằng những con chó có thể ngăn chặn con sói trốn thoát.
Một $n$-GON thông thường được ghi trong bán kính vòng tròn $R$. Khoảng cách từ tâm của vòng tròn đến tâm của một cạnh là $h_{n}$. Chứng minh rằng $(n + 1) h_{n + 1} - n h_{n} \gt R$.
Trong tứ giác $ABCD$, $BC$ song song với $AD$. Điểm $E$ nằm trên đoạn thẳng $AD$ và chu vi của $ABE$, $BCE$ và $CDE$ là bằng nhau. Chứng minh rằng $BC = AD / 2$.