Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 2022

Tính $\sqrt{2022^{2}-12^{6}}$.

Alice nghĩ đến một số thực dương $x$, còn Bob nghĩ đến một số thực dương $y$. Biết $x^{\sqrt{y}}=27$ và $(\sqrt{x})^{y}=9$, tính $x y$.

Một đa giác đều $2022$ cạnh có chu vi $6.28$. Tính diện tích đa giác $2022$ cạnh, làm tròn đến số nguyên dương gần nhất.

Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh phân biệt trong năm đỉnh của một ngũ giác đều. Gọi $p$ là xác suất tam giác tạo bởi ba đỉnh được chọn là tam giác nhọn. Tính $10 p$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $r$ sao cho ba hình tròn bán kính $r$ có thể phủ kín một hình tròn đơn vị.

Herbert gieo $6$ con xúc xắc sáu mặt cân đối và tính tích các số chấm thu được. Nếu xác suất tích là số nguyên tố được viết thành $\frac{a}{b}$, với $a$ và $b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tính $100a + b$.

Các tập hợp $A$, $B$ và $C$ thỏa mãn $|A| = 92$, $|B| = 35$, $|C| = 63$, $|A \cap B| = 16$, $|A \cap C| = 51$, $|B \cap C| = 19$. Tính số giá trị có thể của $|A \cap B \cap C|$.

Tính số cách tô màu 3 ô trong một bảng $3 \times 3$ sao cho không có hai ô được tô chung cạnh.

Cho tam giác $ABC$ với $\angle A = 60^\circ$. Đường thẳng $\ell$ cắt các đoạn $AB$ và $AC$, chia tam giác $ABC$ thành một tam giác đều và một tứ giác. Lấy $X$ và $Y$ trên $\ell$ sao cho các đường thẳng $BX$ và $CY$ vuông góc với $\ell$. Biết $AB = 20$ và $AC = 22$, tính $XY$.

Các số nguyên dương $a$, $b$ và $c$ đều là lũy thừa của $k$, với $k$ là một số nguyên dương. Biết phương trình $a x^{2} - b x + c = 0$ có đúng một nghiệm thực $r$, và giá trị $r$ này nhỏ hơn $100$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $r$.

Hai hàm bậc nhất $f(x)$ và $g(x)$ thỏa mãn với mọi $x$:
- $f(x) + g(x) = 2$
- $f(f(x)) = g(g(x))$
và $f(0) = 2022$. Tính $f(1)$.

Tính số lượng các số nguyên dương là ước của ít nhất hai số trong tập $\{1^{1}, 2^{2}, 3^{3}, 4^{4}, 5^{5}, 6^{6}, 7^{7}, 8^{8}, 9^{9}, 10^{10}\}$.

Chiếc đồng hồ hỏng của Emily chạy ngược với tốc độ gấp năm lần đồng hồ bình thường. Hiện tại nó đang chỉ sai giờ. Trong 24 giờ tiếp theo, nó sẽ chỉ đúng giờ bao nhiêu lần? Đây là đồng hồ kim, chỉ biểu thị giờ bằng số mà không phân biệt sáng hay chiều. Các kim chuyển động liên tục, không nhảy từng nấc.

Hoán vị ngẫu nhiên 26 chữ cái của bảng chữ cái tiếng Anh. Gọi $p_{1}$ là xác suất để $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$ và $EF$ đều xuất hiện thành các chuỗi con liên tiếp. Gọi $p_{2}$ là xác suất để $ABC$ và $DEF$ đều xuất hiện thành các chuỗi con liên tiếp. Tính $\frac{p_{1}}{p_{2}}$.

Cho tam giác nhọn $A B C$ có đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$. Gọi $X$ và $Y$ lần lượt là trung điểm các cung nhỏ $\widehat{A B}$ và $\widehat{A C}$ của $\Gamma$. Nếu đường thẳng $X Y$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$, và bán kính của $\Gamma$ bằng $R$, hãy tìm và chứng minh giá trị của $X Y$ theo $R$.

Có bao nhiêu cách đặt các số $1,2,3,4,5,6$ vào các đỉnh của một lục giác đều sao cho đúng 3 số lớn hơn cả hai số kề nó? Các cách chỉ khác nhau bởi phép quay hoặc đối xứng được coi là một.

Tìm số cặp có thứ tự $(A, B)$ thỏa mãn:
- $A$ và $B$ là các tập con rời nhau của $\{1,2, \ldots, 50\}$.
- $|A|=|B|=25$
- Trung vị của $B$ lớn hơn trung vị của $A$ đúng 1.

Trong giờ học, Alice nghĩ đến một số nguyên dương. Mỗi giây tiếp theo, bạn ấy trừ số hiện tại đi ước nguyên tố nhỏ nhất của nó, có thể là chính số đó. Sau 2022 giây, Alice thấy số hiện tại là số nguyên tố. Tính tổng tất cả các giá trị có thể của số ban đầu.

Cho hai hình vuông đơn vị $ABCD$ và $AEFG$ có phần giao diện tích $\frac{20}{21}$. Biết $\angle BAE \lt 45^{\circ}$, và $\tan \angle BAE$ có thể viết thành $\frac{a}{b}$, với $a$, $b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính $100a + b$.

Cho $(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{8})$ là một hoán vị của $(1,2, \ldots, 8)$. Tìm và chứng minh số lượng lớn nhất có thể các phần tử là số chính phương trong tập
$$
\left\{a_{1}, a_{1}+a_{2}, \ldots, a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8}\right\}
$$