Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 1983

Chứng minh rằng số lượng lớn nhất của bán kính $1$ có thể được đặt chạm vào một quả cầu cố định có bán kính $1$ để không có cặp quả cầu nào có điểm chung bên trong nằm giữa $12$ và $14$.

Chứng minh rằng chỉ có vô số giải pháp cho $$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{1983}
$$ trong các số nguyên dương.

Chứng minh rằng có thể tô màu cho mỗi điểm của một hình tròn màu đỏ hoặc xanh lam sao cho không có tam giác vuông nào được nội tiếp trong đường tròn có các đỉnh của nó có cùng màu.

Chứng minh rằng $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$ không phải là số nguyên cho $n \gt 1$.

Chứng minh rằng $1 \le n^{1/n} \le 2$ cho tất cả các số nguyên dương $n$. Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho $1 \le n^{1/n} \le k$ cho tất cả các số nguyên dương $n$.

Một tam giác đều $ABC$ có cạnh $a$. Một hình vuông được xây dựng ở bên ngoài của mỗi cạnh của tam giác. Một kim tự tháp thông thường bên phải với độ dốc $a$ được đặt trên mỗi hình vuông. Các kim tự tháp này được quay quanh các cạnh của tam giác để đỉnh của mỗi hình chóp đến một điểm chung phía trên tam giác. Chứng minh rằng khi điều này đã được thực hiện, các đỉnh khác của các đáy của các kim tự tháp (ngoài các đỉnh của tam giác) tạo thành một hình lục giác đều.

Tìm tất cả các số nguyên dương $w, x, y$ và $z$ thỏa mãn $w! = x! + y! + z!$.

Đối với mỗi số thực $r$ Gọi $T_{r}$ là phép biến đổi của mặt phẳng lấy điểm $(x, y)$ vào điểm $(2^{r} x, r 2^{r} x + 2^{r} y)$. Cho $F$ là gia đình của tất cả các biến đổi như vậy, tức là $F = \{ T_{r} : r \text{ một số thực} \}$. Tìm tất cả các đường cong $y = f(x)$ có đồ thị không thay đổi theo mỗi phép biến đổi trong $F$.

Diện tích của một tam giác được xác định bởi độ dài các cạnh của nó. Thể tích của một tứ diện có được xác định bởi các diện tích mặt của nó không?

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố $p$, có vô số số nguyên dương $n$ sao cho $p$ chia $2^{n}-n$.

Giá trị trung bình hình học (g.m.) của $k$ số dương $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ được xác định là gốc (dương) thứ $k$ của tích của chúng. Ví dụ, G.M. của $3,4,18$ là $6$. Cho thấy rằng G.M. của một bộ $S$ của $n$ số dương bằng g.m. của G.M. của tất cả các tập con không trống của $S$.

được $A$ một trong hai giao điểm phân biệt của hai đường tròn khác nhau $C_{1}$, $C_{2}$ của các trung tâm $O_{1}$, $O_{2}$tương ứng. một trong những tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc $C_{1}$ trên $P_{1}$ y a $C_{2}$ trên $P_{2}$, trong khi những chạm khác $C_{1}$ trên $Q_{1}$ y a $C_{2}$ trên $Q_{2}$. được $M_{1}$ điểm giữa của $P_{1} Q_{1}$ y $M_{2}$ điểm giữa của $P_{2} Q_{2}$. cho thấy $\widehat{O_{1} A O_{2}} = \widehat{M_{1} A M_{2}}$.

Gọi $a$, $b$ và $c$ là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $$
a^{2} b(a-b) + b^{2} c(b-c) + c^{2} a(c-a) \geq 0
$$ xác định trong trường hợp nào thì bình đẳng được đáp ứng.

Giả sử nếu có thể chọn $1983$ các số nguyên dương khác nhau, tất cả đều nhỏ hơn hoặc bằng $10^{5}$, để ba trong số chúng không phải là số hạng liên tiếp của một cấp số học. biện minh cho câu trả lời.

Tìm tất cả các hàm $f$ được xác định trong tập hợp các số thực, lấy giá trị thực dương và thỏa mãn các điều kiện 1) $\quad f(x f(y))=y f(x)$ cho tất cả $x, y$ dương, 2) $\quad f(x) \rightarrow 0$ CÓ $x \rightarrow \infty$.

Cho $ABC$ là một tam giác đều và $\mathcal{E}$ tập hợp tất cả các điểm có trong ba phân đoạn $AB$, $BC$ và $CA$ (bao gồm $A$, $B$ và $C$). Xác định xem có đúng với mỗi phân vùng của $\mathcal{E}$ thành hai tập rời rạc hay không, ít nhất một trong hai tập hợp chứa các đỉnh của một tam giác vuông. biện minh cho câu trả lời.

Cho $a$, $b$, $c$ là số nguyên dương, hai đến hai anh em họ cùng nhau. Chứng minh rằng $2abc - ab - bc - ca$ là số nguyên lớn nhất không thể được biểu thị dưới dạng $x\,bc + y\,ca + z\,ab$, trong đó $x$, $y$ và $z$ là số nguyên không âm.

Điểm nội thất $D$, $E$, $F$ được chọn ở các bên $BC$, $CA$, $AB$ (không phải ở các đỉnh). Gọi $k$ là chiều dài của cạnh dài nhất của $DEF$. Cho $a$, $b$, $c$ là chiều dài của các cạnh dài nhất của $AFE$, $BDF$, $CDE$ tương ứng. Chứng minh rằng $k \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} \min(a, b, c)$. Khi nào chúng ta có bình đẳng?

Tìm tất cả các giải pháp thực $x$, $y$ đến $$
y^2 = x^3 - 3x^2 + 2x, \quad x^2 = y^3 - 3y^2 + 2y.
$$

$M$ là trung điểm của $BC$. $E$ là điểm nào bên cạnh $AC$ và $F$ là điểm nào bên cạnh $AB$. Hiển thị khu vực đó $\{MEF\} \leq$ Khu $\{BMF\} +$ $CME$.