Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 2025

Gọi một số có 9 chữ số là số *cassowary* nếu nó sử dụng mỗi chữ số từ $1$ đến $9$ đúng một lần. Có bao nhiêu số cassowary là số nguyên tố?

Tính
$$
\frac{20 + \frac{1}{25 - \frac{1}{20}}}{25 + \frac{1}{20 - \frac{1}{25}}}.
$$

Tìm bán kính lớn nhất có thể của một hình tròn nằm trong miền xác định bởi $|x + |y|| \leq 1$ trên mặt phẳng tọa độ.

Hai hình thoi *ABCD* và *AXYZ* nằm ngoài nhau và có chung đỉnh *A*. Các đỉnh của mỗi hình thoi được ghi theo chiều kim đồng hồ. Nếu $\angle DAX = \angle BAZ$, hãy chứng minh rằng tâm hai hình thoi và trung điểm của đoạn *BZ* tạo thành một tam giác cân.

Mark viết biểu thức $\sqrt{abcd}$ lên bảng, trong đó $abcd$ là một số có bốn chữ số và $a \neq 0$. Derek, một em bé, di chuyển $a$, biến biểu thức của Mark thành $a\sqrt{bc}$. Thật bất ngờ, hai biểu thức bằng nhau. Tìm số có bốn chữ số $abcd$ duy nhất có thể xảy ra.

Jacob gieo hai con xúc xắc sáu mặt cân đối. Nếu kết quả của chúng giống nhau, bạn ấy gieo thêm một con xúc xắc sáu mặt cân đối. Tính xác suất tổng các kết quả của tất cả những con xúc xắc đã gieo là số chẵn.

Jack và Jill chơi trò sau: Jack gieo 3 con xúc xắc, còn Jill được chọn một số con, có thể không chọn con nào, rồi lật mỗi con được chọn sang mặt đối diện. Jill thắng nếu tổng các số chấm là bội của 4. Jill có luôn thắng được không? Biết rằng tổng số chấm trên hai mặt đối diện của mỗi con xúc xắc tiêu chuẩn bằng 7.

Chú ếch Kelvin đứng trên lá súng ở góc dưới bên trái của một bảng lá súng $3 \times 3$, còn nhà ở lá súng góc trên bên phải. Kelvin chỉ có thể nhảy giữa hai lá kề nhau theo chiều ngang hoặc dọc. Tính số cách bỏ đi 4 lá sao cho hai lá ở góc dưới trái và góc trên phải vẫn còn, nhưng Kelvin không thể về nhà.

Cho $a$, $b$ và $c$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{1}{c}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng tăng. Chứng minh $\gcd(a, b) \gt 1$.

Dựng hai tam giác đều $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ sao cho các điểm $B$, $E$, $F$, $C$ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó, và điểm $D$ nằm trong tam giác $\triangle ABC$. Biết $BE = 14$, $EF = 15$ và $FC = 16$, tính $AD$.

Tính tổng các ước nguyên dương, kể cả 1, của $9!$ có chữ số hàng đơn vị là $1$.

Tính số cách sắp xếp các số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ quanh một vòng tròn sao cho tích của mỗi cặp số kề nhau không vượt quá $20$. Các cách khác nhau bởi phép quay hoặc đối xứng vẫn được tính là khác nhau.

Ben có 16 quả bóng được đánh số $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $16$, cùng 4 hộp không phân biệt. Hai quả bóng được gọi là kề nhau nếu số ghi trên chúng chênh nhau $1$. Tính số cách đặt vào mỗi hộp 4 quả bóng sao cho mỗi quả nằm cùng hộp với ít nhất một quả kề nó. Không xét thứ tự đặt bóng vào hộp.

Cho tam giác đều $\triangle ABC$ có cạnh $4$. Trong các điểm $P$ nằm trong tam giác $\triangle ABC$ và thỏa mãn $[PAB] + [PAC] = [PBC]$, tìm độ dài nhỏ nhất có thể của $PA$.

Ở đây $[XYZ]$ chỉ diện tích tam giác $\triangle XYZ$.

Tìm tất cả các số nguyên có 6 chữ số $n$ sao cho $n$ là số chính phương, và số tạo bởi 3 chữ số cuối của $n$ lớn hơn số tạo bởi 3 chữ số đầu của $n$ đúng 1.

Trong một hang động hai chiều có nền và trần song song, hai nhũ đá dài $16$ và $36$ rủ vuông góc từ trần xuống, còn hai măng đá cao $25$ và $49$ mọc vuông góc từ nền lên. Nếu bốn đầu mút của chúng là bốn đỉnh của một hình vuông theo một thứ tự nào đó, hãy tính chiều cao của hang.

Một polyomino là hình liên thông được ghép từ một hoặc nhiều hình vuông đơn vị theo các cạnh. Hãy xác định và chứng minh số polyomino đôi một không bằng nhau qua phép dời hình, không có lỗ, có chu vi $180$ và diện tích $2024$.

Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương thỏa mãn
$$x^{\log_{2}(yz)} = 2^{8} \cdot 3^{4}, \quad y^{\log_{2}(zx)} = 2^{9} \cdot 3^{6}, \quad \text{và} \quad z^{\log_{2}(xy)} = 2^{5} \cdot 3^{10},$$
Tính giá trị nhỏ nhất có thể của $xyz$.

Điểm $P$ nằm trong hình vuông $ABCD$ sao cho diện tích các tam giác $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCD$, $\triangle PDA$ là $1$, $2$, $3$, $4$ theo một thứ tự nào đó. Tính $PA \cdot PB \cdot PC \cdot PD$.

Gọi $\lfloor z\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $z$. Tính
$$
\sum_{j = -1000}^{1000} \left\lfloor \frac{2025}{j + 0.5} \right\rfloor.
$$