MathNet 2024-part-06 — 165 bài (EN–VI)

Giá trị nào của $x$ thỏa mãn
$$
\frac{\log_2 x \cdot \log_3 x}{\log_2 x + \log_3 x} = 2?
$$
(A) 25 (B) 32 (C) 36 (D) 42 (E) 48

Có bao nhiêu góc $\theta$ với $0 \le \theta \le 2\pi$ thỏa mãn $\log(\sin(3\theta)) + \log(\cos(2\theta)) = 0$?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Gọi $\alpha$ là số đo (tính bằng radian) của góc nhỏ nhất trong tam giác vuông $3$-$4$-$5$. Gọi $\beta$ là số đo (tính bằng radian) của góc nhỏ nhất trong tam giác vuông $7$-$24$-$25$. Biểu diễn $\beta$ theo $\alpha$.
(A) $\frac{\alpha}{3}$ (B) $\alpha - \frac{\pi}{8}$ (C) $\frac{\pi}{2} - 2\alpha$ (D) $\frac{\alpha}{2}$ (E) $\pi - 4\alpha$

Có đúng $K$ số nguyên dương $b$ với $5 \le b \le 2024$ sao cho số nguyên $2024_b$ viết trong hệ cơ số $b$ chia hết cho 16 (ở đây 16 viết trong hệ thập phân). Tổng các chữ số của $K$ bằng bao nhiêu?
(A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 20 (E) 21

Cho $x_n = \sin^2(n°)$. Trung bình cộng của $x_1, x_2, x_3, \dots, x_{90}$ bằng bao nhiêu?
(A) $\frac{11}{45}$ (B) $\frac{22}{45}$ (C) $\frac{89}{180}$ (D) $\frac{1}{2}$ (E) $\frac{91}{180}$

Giả sử $z$ là một số phức có phần ảo dương, phần thực lớn hơn $1$, và $|z| = 2$. Trong mặt phẳng phức, bốn giá trị $0$, $z$, $z^2$ và $z^3$ là các đỉnh của một tứ giác có diện tích $15$. Phần ảo của $z$ bằng bao nhiêu?
(A) $\frac{3}{4}$ (B) $1$ (C) $\frac{4}{3}$ (D) $\frac{3}{2}$ (E) $\frac{5}{3}$

Đồ thị của $y = e^{x+1} + e^{-x} - 2$ có một trục đối xứng. Điểm đối xứng của điểm $(-1, \frac{1}{2})$ qua trục này là điểm nào?
(A) $(-1, -\frac{3}{2})$ (B) $(-1, 0)$ (C) $(-1, \frac{1}{2})$ (D) $(0, \frac{1}{2})$ (E) $(3, \frac{1}{2})$

Có các số thực $x$, $y$, $h$ và $k$ thỏa mãn hệ phương trình
$$
\begin{aligned}
x^2 + y^2 - 6x - 8y &= h \\
x^2 + y^2 - 10x + 4y &= k.
\end{aligned}
$$
Giá trị nhỏ nhất có thể của $h + k$ là bao nhiêu?
(A) -54 (B) -46 (C) -34 (D) -16 (E) 16

Các nghiệm của $x^3 + 2x^2 - x + 3$ là $p$, $q$ và $r$. Giá trị của $(p^2 + 4)(q^2 + 4)(r^2 + 4)$ bằng bao nhiêu?
(A) 64 (B) 75 (C) 100 (D) 125 (E) 144

Một tam giác trong mặt phẳng tọa độ có các đỉnh $A(\log_2 1, \log_2 2)$, $B(\log_2 3, \log_2 4)$ và $C(\log_2 7, \log_2 8)$. Diện tích của $\triangle ABC$ bằng bao nhiêu?
(A) $\log_2 \frac{\sqrt{3}}{7}$ (B) $\log_2 \frac{3}{\sqrt{7}}$ (C) $\log_2 \frac{7}{\sqrt{3}}$ (D) $\log_2 \frac{11}{\sqrt{7}}$ (E) $\log_2 \frac{11}{\sqrt{3}}$

Một bộ gồm 12 thẻ — 3 thẻ đỏ, 2 thẻ trắng, 1 thẻ xanh lam và 6 thẻ đen — được chia ngẫu nhiên cho 3 người chơi, mỗi người 4 thẻ. Xác suất để có một người nhận được tất cả các thẻ đỏ, một người khác nhận được tất cả các thẻ trắng, và người còn lại nhận được thẻ xanh lam có thể viết dưới dạng $\frac{m}{n}$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Giá trị của $m + n$ là bao nhiêu?
(A) 387 (B) 388 (C) 389 (D) 390 (E) 391

Các số nguyên $a$ và $b$ được chọn ngẫu nhiên không hoàn lại từ tập các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá $10$. Xác suất để đa thức $x^3 + a x^2 + b x + 6$ có $3$ nghiệm nguyên phân biệt là bao nhiêu?

(A) $\frac{1}{240}$ (B) $\frac{1}{221}$ (C) $\frac{1}{105}$ (D) $\frac{1}{84}$ (E) $\frac{1}{63}$

Các số nguyên $a$, $b$ và $c$ thỏa mãn $ab + c = 100$, $bc + a = 87$ và $ca + b = 60$. Giá trị của $ab + bc + ca$ bằng bao nhiêu?

Trên một tấm thẻ hình chữ nhật có các cạnh dài $1$ và $2 + \sqrt{3}$, người ta đặt một tấm thẻ giống hệt sao cho hai đường chéo của chúng trùng nhau, như trong hình (ở đây là $AC$).

Tiếp tục quá trình này, đặt tấm thẻ thứ ba lên tấm thẻ thứ hai, và cứ thế, mỗi lần xoay theo chiều kim đồng hồ để các đường chéo liên tiếp trùng nhau. Tổng cộng phải dùng bao nhiêu tấm thẻ cho đến khi một đỉnh của một tấm thẻ mới rơi đúng vào đỉnh được ký hiệu là $B$ trong hình?
(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) Không có đỉnh mới nào rơi vào $B$.

Tứ giác nội tiếp $ABCD$ có độ dài $BC = CD = 3$ và $DA = 5$ với $\angle CDA = 120^\circ$. Độ dài đường chéo ngắn hơn của $ABCD$ bằng bao nhiêu?
(A) $\frac{31}{7}$ (B) $\frac{33}{7}$ (C) 5 (D) $\frac{39}{7}$ (E) $\frac{41}{7}$

Tam giác đều $\triangle ABC$ có cạnh dài $14$ được quay quanh tâm của nó một góc $\theta$, trong đó $0 \lt \theta \le 60^\circ$, để tạo thành $\triangle DEF$. Xem hình. Diện tích lục giác $ADBECF$ bằng $91\sqrt{3}$. Giá trị của $\tan \theta$ bằng bao nhiêu?

(A) $\frac{3}{5}$
(B) $\frac{5\sqrt{3}}{11}$
(C) $\frac{4}{5}$
(D) $\frac{11}{13}$
(E) $\frac{7\sqrt{3}}{13}$

Các điểm $P$ và $Q$ được chọn ngẫu nhiên đều và độc lập lần lượt trên các cạnh $\overline{AB}$ và $\overline{AC}$ của tam giác đều $\triangle ABC$. Khoảng nào dưới đây chứa xác suất để diện tích $\triangle APQ$ nhỏ hơn một nửa diện tích $\triangle ABC$?

(A) $[\frac{3}{8}, \frac{1}{2}]$ (B) $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}]$ (C) $(\frac{2}{3}, \frac{3}{4}]$ (D) $(\frac{3}{4}, \frac{7}{8}]$ (E) $(\frac{7}{8}, 1]$

Giả sử $A$, $B$ và $C$ là các điểm trong mặt phẳng với $AB = 40$ và $AC = 42$, và gọi $x$ là độ dài đoạn thẳng nối $A$ với trung điểm của $BC$. Định nghĩa hàm số $f$ bằng cách cho $f(x)$ là diện tích của $\triangle ABC$. Khi đó tập xác định của $f$ là một khoảng mở $(p, q)$, và giá trị lớn nhất $r$ của $f(x)$ đạt được tại $x = s$. Giá trị của $p + q + r + s$ bằng bao nhiêu?

(A) 909 (B) 910 (C) 911 (D) 912 (E) 913

Giả sử $a_1 = 2$ và dãy số $(a_n)$ thỏa mãn hệ thức truy hồi
$$
\frac{a_n - 1}{n - 1} = \frac{a_{n-1} + 1}{(n-1) + 1}
$$
với mọi $n \ge 2$. Số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng
$$
\sum_{n=1}^{100} a_n^2
$$
là bao nhiêu?

Số đo các góc nhỏ nhất của ba tam giác vuông khác nhau có tổng bằng $90^\circ$. Cả ba tam giác đều có độ dài các cạnh là bộ ba Pythagore nguyên thủy. Hai trong số đó là $3$-$4$-$5$ và $5$-$12$-$13$. Chu vi của tam giác thứ ba bằng bao nhiêu?
(A) $40$
(B) $126$
(C) $154$
(D) $176$
(E) $208$