Cho $ABC$ là hình tam giác với $\angle BAC \neq 90^{\circ}$. Gọi $O$ là đường tròn tâm của tam giác $ABC$ và để $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$. Giả sử rằng $\Gamma$ cắt đoạn đường dây $AB$ tại $P$ khác với $B$, và đoạn đường $AC$ tại $Q$ khác với $C$. Cho $ON$ là đường kính của đường tròn $\Gamma$. Chứng minh tứ giác $APNQ$ là hình bình hành.
Cho $n$ là một số nguyên dương. $n$ mọi người tham gia vào một bữa tiệc nào đó. Đối với bất kỳ cặp nào trong số những người tham gia, hai người quen biết với nhau hoặc không. Số cặp tối đa có thể có mà cả hai không quen nhưng có chung một người tham gia là bao nhiêu?
Tìm tất cả các chức năng $f$ từ bộ $\{\mathbf{R}\}$ của số thực thành $\{\mathbf{R}\}$ thỏa mãn cho tất cả $x, y, z \in \{\mathbf{R}\}$ bản sắc $$
f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2 x y+f(z))+2 f(x z-y z)
$$
Cho $ABC$ là tam giác nhọn thỏa mãn điều kiện $AB \gt BC$ và $AC \gt BC$. Biểu thị bằng $O$ và $H$ lần lượt là tâm đường tròn và tâm hình tròn, của tam giác $ABC$. Giả sử rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$ cắt đường thẳng $AB$ tại $M$ khác với $A$, và đường tròn ngoại tiếp của tam giác $AHB$ cắt dòng $AC$ tại $N$ khác với $A$. Chứng minh rằng đường tròn tâm tam giác $MNH$ nằm trên đường thẳng $OH$.
Đối với số nguyên dương $k$, hãy gọi một số nguyên là thứ $k$ nguyên chất nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng $m^{k}$ cho một số nguyên $m$. Cho thấy rằng với mọi số nguyên dương $n$ tồn tại $n$ các số nguyên dương riêng biệt để tổng của chúng là một công suất $2009$ thuần túy, và tích của chúng là một công suất thuần túy thứ $2010$ NGUỒN.
Cho $n$ là một số nguyên dương. Chúng tôi gọi * mịn * một chuỗi các số nguyên $a_1, a_2, \dots, a_k$, với $1 \le a_i \le n$, nếu tồn tại một số nguyên $m$, với $1 \le m \lt k$, sao cho $a_1 = a_{k-m+1}, a_2 = a_{k-m+2}, \dots, a_m = a_k$. Hơn nữa, một chuỗi là * phổ quát * nếu mỗi trình tự thu được thông qua việc thay thế $a_k$ bằng $1, 2, \dots, n$ là trơn tru. Đối với mỗi $n$, hãy tìm một chuỗi độ dài tối thiểu chung.
Trong một trường có 5 lớp có 250 nữ sinh và 250 nam sinh. Mỗi lớp có 100 học sinh. Các đội của một nữ sinh và một nam sinh cùng lớp phải được thành lập cho một cuộc thi. Ít nhất 19 học sinh mỗi lớp là nữ sinh và ít nhất 19 học sinh là nam sinh. Tìm số lượng lớn nhất các đội có thể được thành lập một cách chắc chắn.
Người chơi $A$ và $B$ chơi một trò chơi như sau. Ban đầu $A$ sắp xếp các số $1, 2, \dots, n$ liên tiếp theo ý muốn; $n$ là một số nguyên dương cho trước. Tiếp theo, $B$ chọn một số và đặt một viên đá vào đó. Sau đó, $A$ di chuyển đá đến một số liền kề, $B$ cũng làm tương tự, v.v. Đá có thể được đặt trên số $k$ tại hầu hết các thời điểm $k$, $k = 1, \dots, n$; Số lần di chuyển ban đầu của $B$ được tính. người không thể di chuyển thua cuộc. Đối với mỗi $n$ xác định ai có chiến lược chiến thắng.
Các số $1, 2, \dots, 2010$ được viết thành một hàng. Hai người chơi thay phiên nhau viết $+$ hoặc $\times$ giữa hai số liên tiếp miễn là điều này có thể. Người chơi đầu tiên thắng nếu tổng đại số thu được sẽ chia hết cho $3$; Nếu không, người chơi thứ hai sẽ thắng. Tìm một chiến lược chiến thắng cho một trong những người chơi.
Trong tam giác $ABC$ điểm $P$ chia bên $AB$ theo tỷ lệ $\frac{AP}{PB} = \frac{1}{4}$. Đường trung trực của đoạn $PB$ cắt cạnh bên $BC$ tại điểm $Q$. Nếu $\text{khu vực}(PQC) = \frac{4}{25}\text{khu vực}(ABC)$ và $AC = 7$, hãy tìm $BC$.
Với một số số nguyên, nó được phép thay thế hai số trong số chúng bằng sự khác biệt không âm của chúng. Thao tác được lặp lại cho đến khi chỉ còn một số. Nếu số ban đầu là $1, 2, \ldots, 2010$, thì số cuối cùng còn lại là bao nhiêu?
Trong hình bình hành $ABCD$ điểm $G$ được chọn bên cạnh $AB$. Hãy xem xét đường tròn qua $A$ và $G$ là tiếp tuyến với phần mở rộng của $CB$ vượt ra ngoài $B$ tại điểm $P$. Phần mở rộng của $DG$ vượt ra ngoài $G$ cắt đường tròn tại $L$. Nếu tứ giác $GLBC$ là vòng tuần hoàn, chứng minh rằng $AB = PC$.
Có các hộp $2k$ ($k \ge 2$) với các viên sỏi $2k-1$ trong mỗi hộp. Một động thái hợp pháp là chọn các hộp $2k-2$ và loại bỏ một viên sỏi khỏi mỗi hộp. Người chơi $A$ và $B$ luân phiên nhau; $A$ đi trước. Một người chơi thắng nếu một động thái của anh ta làm trống hai hộp. Xác định người chơi nào có chiến lược chiến thắng.
Trên một tờ giấy lưới vô hạn, 999 ô vuông có màu đen. Gọi * đặc biệt * một hình chữ nhật có các cạnh trên các đường lưới nếu nó có hai ô góc đối diện màu đen (hình chữ nhật có cạnh 1 được bao gồm). Gọi $N$ là số lượng ô đen tối đa trong một hình chữ nhật đặc biệt cho một cấu hình nhất định. Tìm mức tối thiểu của $N$ trên tất cả các cấu hình.
Trong tam giác góc nhọn $ABP$ ($AB \gt BP$), đường cao là $BH$, $PQ$ và $AS$. Phần mở rộng của $QS$ giao tuyến $AP$ tại $C$. Phần mở rộng của $HS$ cắt $BC$ tại $L$. Nếu $HS = SL$ và $HL$ vuông góc với $BC$, hãy tính $\frac{SL}{SC}$.
1000 quả bóng khối lượng $0.38$ và 5000 quả bóng khối lượng $0.038$ phải được đóng gói trong hộp. Một hộp có thể chứa bất kỳ bộ sưu tập bóng nào có khối lượng tổng cộng tối đa là $1$. Tìm số hộp tối thiểu cần thiết.
a) Một số số nguyên dương riêng biệt có thuộc tính rằng tổng của ba số đó là số nguyên tố. Nhiều nhất là có bao nhiêu người trong số họ?
b) Một số số nguyên riêng biệt (không nhất thiết là dương) có thuộc tính rằng tổng của ba số đó là dương và cũng là số nguyên tố. Nhiều nhất là có bao nhiêu người trong số họ?