Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 2000

Tính tổng $S=\sum_{i=0}^{101} \frac{x_{i}^{3}}{1-3 x_{i}+3 x_{i}^{2}}$ với $x_{i}=\frac{i}{101}$.
Đáp án: $S=51$.

Cho tam giác $A B C$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là giao điểm của đường trung tuyến và đường phân giác xuất phát từ $A$ với cạnh $B C$. Gọi $Q$ và $P$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua $N$ vuông góc với $N A$ với $M A$ và $B A$, và gọi $O$ là giao điểm của đường thẳng qua $P$ vuông góc với $B A$ với đường thẳng $A N$ kéo dài. Chứng minh rằng $Q O$ vuông góc với $B C$.

Cho các số nguyên dương $n$, $k$ với $n\gt k$. Chứng minh rằng
$$
\frac{1}{n+1}\cdot\frac{n^{n}}{k^{k}(n-k)^{n-k}}\lt \frac{n!}{k!(n-k)!}\lt \frac{n^{n}}{k^{k}(n-k)^{n-k}}.
$$

Chứng minh rằng mọi số nguyên lớn hơn hoặc bằng $7$ đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên nguyên tố cùng nhau, cả hai đều lớn hơn $1$. (Hai số nguyên được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng không có ước dương chung nào ngoài $1$. Chẳng hạn, $22$ và $15$ nguyên tố cùng nhau, vì vậy $37=22+15$ biểu diễn số $37$ theo cách yêu cầu.)

Cho các số dương $x_1,x_2,\ldots,x_n$, với $n\geq2$. Chứng minh rằng
$$
\left(x_1+\frac1{x_1}\right)\left(x_2+\frac1{x_2}\right)\cdots\left(x_n+\frac1{x_n}\right)\geq\left(x_1+\frac1{x_2}\right)\left(x_2+\frac1{x_3}\right)\cdots\left(x_{n-1}+\frac1{x_n}\right)\left(x_n+\frac1{x_1}\right).
$$

Chứng minh rằng tồn tại một tập $S$ gồm $3^{1000}$ điểm trên mặt phẳng sao cho với mỗi điểm $P$ thuộc $S$, có ít nhất 2000 điểm thuộc $S$ cách $P$ đúng 1 inch.

Alice chơi trò chơi một người sau trên bàn cờ $20\times20$. Ban đầu, cô đặt 100 đồng xu một cent (penny), 100 đồng xu năm cent (nickel), 100 đồng xu mười cent (dime) và 100 đồng xu hai mươi lăm cent (quarter) lên bàn sao cho mỗi ô trong 400 ô chứa đúng một đồng xu. Sau đó cô chọn 59 đồng xu và lấy chúng khỏi bàn. Từ đó, cô lần lượt lấy từng đồng xu theo các quy tắc sau:
- Chỉ được lấy một đồng penny nếu cả bốn ô trên bàn kề với ô của nó (trên, dưới, trái, phải) đều trống (không chứa đồng xu). Các ô “ngoài bàn cờ” không được tính vào bốn ô này: chẳng hạn, một ô ở mép bàn nhưng không ở góc chỉ có ba ô kề, nên đồng penny tại đó không thể được lấy theo quy tắc này, ngay cả khi cả ba ô kề đều trống.
- Chỉ được lấy một đồng nickel nếu có ít nhất ba ô trống kề với ô của nó. (Một lần nữa, các ô “ngoài bàn cờ” không được tính.)
- Chỉ được lấy một đồng dime nếu có ít nhất hai ô trống kề với ô của nó (các ô “ngoài bàn cờ” không được tính).
- Chỉ được lấy một đồng quarter nếu có ít nhất một ô trống kề với ô của nó (các ô “ngoài bàn cờ” không được tính).
Alice thắng nếu cuối cùng cô lấy được tất cả các đồng xu. Chứng minh rằng cô không thể thắng.

Tôi có ba lọ không trong suốt chứa các đồng xu. Một lọ chỉ chứa đồng nickel; một lọ chỉ chứa đồng dime; một lọ chứa cả đồng nickel lẫn đồng dime. Ba lọ còn được dán nhãn “Nickel”, “Dime” và “Nickel và dime”, nhưng biết rằng tất cả các lọ đều bị dán nhãn sai. Bạn được chọn một lọ và nhìn một đồng xu rút ngẫu nhiên từ lọ đó. Làm thế nào xác định được lọ nào chứa loại nào?

Người ta viết ra 2000 số nguyên dương phân biệt, và tích của ba số khác nhau bất kỳ trong danh sách là một số chính phương. Chứng minh rằng mỗi số trong danh sách đều là số chính phương.

Cho $n+1$ số nguyên phân biệt thuộc tập $\{1,2,\ldots,2n\}$ ($n\geq1$). Chứng minh rằng có hai số trong chúng nguyên tố cùng nhau.

Cho hai tập điểm trong mặt phẳng tọa độ: $\{(-1,1),(-1,2),\ldots,(-1,2000)\}$ và $\{(1,1),(1,2),\ldots,(1,2000)\}$. Vẽ $2000$ đoạn thẳng nối các điểm này sao cho mỗi điểm trong tập thứ nhất được nối với đúng một điểm trong tập thứ hai và ngược lại. Tìm, kèm chứng minh, tổng các tung độ giao điểm của các đoạn thẳng với trục $y$.

Tam giác đều $ABC$ nội tiếp một đường tròn. Gọi $D$ là trung điểm của $AB$, và $E$ là trung điểm của $AC$. Tia $\overrightarrow{DE}$ cắt đường tròn tại $P$. Chứng minh rằng $DE^2=DP\cdot PE$.

Có tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $28x+30y+31z=365$ không? Số nguyên dương $n$ lớn nhất để phương trình $28x+30y+31z=n$ không có nghiệm nguyên dương $x,y,z$ là bao nhiêu?

Một ma trận số nguyên $n\times n$ được gọi là “vàng” nếu với mỗi hàng và mỗi cột, hợp của hàng và cột đó chứa tất cả các số $1,2,3,\ldots,2n-1$. Tìm tất cả các ma trận vàng (ở mọi kích thước).

Martha là một con gà sống trong một chuồng có hữu hạn con gà với một “thứ bậc mổ nhau” xác định: với mỗi cặp gà phân biệt, đúng một con mổ con kia. (Tuy nhiên, không nhất thiết rằng nếu $X$ mổ $Y$ và $Y$ mổ $Z$ thì $X$ mổ $Z$.) Một con gà $X$ được gọi là “thủ lĩnh” của chuồng nếu mọi con gà khác đều bị $X$ mổ hoặc bị một con gà do $X$ mổ mổ. Chứng minh rằng nếu không có con gà nào trong chuồng mổ nhiều con gà hơn Martha thì Martha là một thủ lĩnh.

Tìm tất cả các hàm số $f$ từ tập số thực $\mathbf R$ vào chính nó sao cho $f(xy+1)=xf(y)+2$ với mọi $x,y\in\mathbf R$.

Ba con châu chấu ở trên một đường thẳng. Mỗi giây có một con châu chấu nhảy. Nó nhảy qua một (nhưng không qua hai) con châu chấu còn lại. Chứng minh rằng sau 1999 giây, các con châu chấu không thể trở lại vị trí ban đầu.

Cho $x_1=x_2=1$ và $x_{n+2}=2x_{n+1}+8x_n-1$ với $n\geq1$. Chứng minh rằng $x_n$ là số chính phương với mọi $n$.

Cho tam giác $ABC$ và các điểm $D,E,F,G,H,I,J$ lần lượt trên các cạnh $BC,CA,AB,BC,CA,AB,BC$, sao cho $EF$ và $HI$ song song với $BC$; $IJ$ và $FG$ song song với $CA$; $DE$ và $GH$ song song với $AB$. Chứng minh rằng $D=J$.

Cho các số thực $a,b,c,d,e,f$ thỏa mãn $a+b+c+d+e+f=0$ và $a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+f^3=0$. Chứng minh rằng $(a+c)(a+d)(a+e)(a+f)=(b+c)(b+d)(b+e)(b+f)$.