Xác định tất cả các cặp $(h, s)$ của các số nguyên dương có tính chất sau: Nếu một người vẽ các đường ngang $h$ và một đường $s$ khác thỏa mãn
(i) chúng không nằm ngang,
(ii) không có hai cái nào song song,
(iii) không có ba dòng $h+s$ nào đồng quy,
thì số vùng được hình thành bởi các dòng $h+s$ này là $1992$.
Trong đường tròn $C$ có tâm $O$ và bán kính $r$, gọi $C_{1}, C_{2}$ lần lượt là hai đường tròn có tâm $O_{1}, O_{2}$ và bán kính $r_{1}, r_{2}$ sao cho mỗi đường tròn $C_{i}$ tiếp tuyến nội bộ với $C$ tại $A_{i}$ và do đó $C_{1}, C_{2}$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$.
Chứng minh rằng ba đường thẳng $O A, O_{1} A_{2}$ và $O_{2} A_{1}$ đồng quy.
Cho $n$ là một số nguyên sao cho $n\gt 3$. Giả sử chúng ta chọn ba số từ bộ $\{1,2, \ldots, n\}$. Chỉ sử dụng mỗi số trong ba số này một lần và sử dụng phép cộng, phép nhân và dấu ngoặc đơn, chúng ta hãy tạo thành tất cả các kết hợp có thể có.
a. Chứng minh rằng nếu chúng ta chọn cả ba số lớn hơn $n / 2$ thì các giá trị của các kết hợp này đều khác nhau.
b. Cho $p$ là số nguyên tố sao cho $p \leq \sqrt{n}$. Chứng minh rằng số cách chọn ba số sao cho số nhỏ nhất là $p$ và các giá trị của các tổ hợp không khác biệt hoàn toàn chính là số ước dương của $p-1$.
Trong một giải đấu cờ vua, mỗi người chơi sẽ đấu với mỗi người chơi khác một lần. Người chơi nhận được 1 điểm nếu thắng, $\frac{1}{2}$ khi hòa và 0 điểm nếu thua. Cả nam và nữ đều thi đấu trong giải đấu và mỗi đấu thủ đều ghi được tổng số điểm khi đối đầu với nữ cũng như đối với nam. Chứng minh rằng tổng số người chơi phải là một hình vuông.
Cho các số thực dương $x_1, x_2, \dots, x_n$, tìm đa giác $A_0A_1 \dots A_n$ có $A_0A_1 = x_1$, $A_1A_2 = x_2$, $\dots$, $A_{n-1}A_n = x_n$ có diện tích lớn nhất.
Gọi $d(n)$ là số ước dương của $n$. Cho thấy điều đó
$$
n\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}\right) \le d(1) + d(2) + \dots + d(n) \le n\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}\right)
$$
Tìm một cấp số cộng vô hạn, không đổi của các số nguyên dương sao cho mỗi số hạng không phải là tổng của hai bình phương, cũng không phải là tổng của hai lập phương (của các số nguyên dương).
Biểu thị bằng $d(n)$ số lượng tất cả các ước dương của số nguyên dương $n$ (bao gồm $1$ và $n$). Chứng minh rằng có vô số $n$ sao cho $\frac{n}{d(n)}$ là số nguyên.
Tìm tất cả các đa thức bậc bốn $p(x)$ sao cho bốn điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) $p(x) = p(-x)$ cho tất cả $x$.
(ii) $p(x) \geq 0$ cho tất cả $x$.
(iii) $p(0) = 1$.
(iv) $p(x)$ có đúng hai điểm cực tiểu cục bộ $x_1$ và $x_2$ sao cho $|x_1 - x_2| = 2$.
Nô-ê phải nhốt 8 loài động vật vào 4 lồng tàu. Anh dự định sẽ nhốt các loài vào từng lồng. Hóa ra, đối với mỗi loài, có tối đa 3 loài khác mà nó không thể ở chung. Chứng minh rằng có cách xếp các con vật vào chuồng sao cho mỗi loài ở chung một chuồng với các loài tương thích.