Tìm tất cả bộ ba số thực $(x,y,z)$ thỏa mãn hệ phương trình:
$$\begin{aligned}
2^{\sqrt[3]{x^2}}\cdot4^{\sqrt[3]{y^2}}\cdot16^{\sqrt[3]{z^2}}&=128\\
(xy^2+z^4)^2&=4+(xy^2-z^4)^2.
\end{aligned}$$
Cho bảng chữ nhật gồm $m\times n$ ô vuông. Một cách tô các ô bằng hai màu đen và trắng được gọi là hợp lệ nếu:
- Mọi ô tiếp giáp biên bảng đều được tô đen.
- Không có bốn ô tạo thành hình vuông $2\times2$ cùng màu.
- Không có bốn ô tạo thành hình vuông $2\times2$ được tô sao cho chỉ các ô chạm nhau theo đường chéo mới cùng màu.
Với những kích thước $m\times n$ nào ($m,n\ge3$) tồn tại cách tô hợp lệ?
Đường phân giác của một góc tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn có độ dài $1$ và $3$. Xác định tất cả các giá trị có thể của diện tích tam giác đó.
Tìm tất cả các số nguyên dương $d$ sao cho nếu một số nguyên $n$ chia hết cho $d$ thì mọi số nguyên $m$ có cùng các chữ số với $n$ cũng chia hết cho $d$.
Ở Greifswald có ba trường $A,B,C$, mỗi trường có ít nhất một học sinh. Trong bất kỳ ba học sinh $a$ thuộc $A$, $b$ thuộc $B$, $c$ thuộc $C$, có hai em quen nhau và hai em khác không quen nhau. Chứng minh rằng hoặc có học sinh trường $A$ quen mọi học sinh trường $B$, hoặc có học sinh trường $B$ quen mọi học sinh trường $C$, hoặc có học sinh trường $C$ quen mọi học sinh trường $A$.
Hai người chơi trò chơi sau với các số nguyên dương. Số ban đầu là $2011^{2011}$. Mỗi nước đi là trừ một số nguyên từ $1$ đến $2010$, hoặc chia cho $2011$ và làm tròn xuống nếu cần. Người nhận được số nguyên không dương thắng. Ai có chiến lược thắng: người đi trước hay người đi sau?
Cho số nguyên $n\ge3$. Tìm giá trị lớn nhất của tích $n$ số thực không âm $x_1,x_2,\dots,x_n$ thỏa mãn
$$\frac{x_1}{1+x_1}+\frac{x_2}{1+x_2}+\dots+\frac{x_n}{1+x_n}=1.$$
Cho các số thực $p,q$ sao cho phương trình bậc hai
$$x^2+px+q=0$$
có hai nghiệm thực $x_1,x_2$. Hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Hai số $x_1,x_2$ hơn kém nhau 1.
(ii) Hai số $p,q$ hơn kém nhau 1.
Chứng minh rằng $p,q,x_1,x_2$ đều là số nguyên.
Trong mặt phẳng, cho đường thẳng $l$, hai điểm $A,B$ đều không thuộc $l$, và điểm $A_1$ đối xứng với $A$ qua $l$. Chỉ dùng thước thẳng, hãy dựng điểm $B_1$ đối xứng với $B$ qua $l$. Chứng minh cách dựng đúng.
Chú ý: “Chỉ dùng thước thẳng” nghĩa là chỉ được thực hiện các thao tác:
(a) Cho hai điểm, dựng đường thẳng đi qua chúng.
(b) Cho hai đường thẳng cắt nhau, dựng giao điểm của chúng.
(c) Chọn (đánh dấu) các điểm trong mặt phẳng nằm trên hoặc không nằm trên các đối tượng đã vẽ. Chỉ được sử dụng thông tin các điểm đó thuộc hoặc không thuộc những đường thẳng nào.
Cho dãy số nguyên dương $\langle a_n\rangle$ với $a_1=1$, và $a_{n+1}$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
$$\operatorname{lcm}(a_1,\dots,a_n,a_{n+1})\gt\operatorname{lcm}(a_1,\dots,a_n).$$
Những số nào xuất hiện trong dãy? Ở đây lcm là bội chung nhỏ nhất.
Một bộ bài gồm $3n$ lá, mỗi màu đỏ, xanh lá và xanh dương có $n$ lá mang các giá trị từ $1$ đến $n$. Chọn một tập con $S$ các giá trị và chia tất cả các lá có giá trị được chọn thành ba tay bài có cùng số lá cho ba người mang tên đỏ, xanh lá và xanh dương, sao cho không ai nhận lá bài có màu của mình. Chứng minh số cách chia mà các giá trị xuất hiện trong tay người đỏ là $1,2,\dots,k$ bằng $\binom nk\binom{2k}k$. (Vậy nó không phụ thuộc vào số phần tử của $S$.)
Trong một nhóm $n$ người, mỗi người có ít nhất $k$ người bạn. Mỗi ngày, mỗi thành viên chia sẻ với tất cả bạn bè mọi tin tức mình nhận được trong những ngày trước đó. Giả sử nếu tiết lộ một thông tin cho bất kỳ thành viên nào thì sau một số ngày mọi người trong nhóm đều sẽ biết tin. Chứng minh rằng thực ra mọi người đều biết tin sau nhiều nhất $3n/k$ ngày.
Tìm tất cả các số thực $a$ sao cho tồn tại hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(\sin x)+a f(\cos x)=\cos2x$$
với mọi số thực $x$. (I. Voronovich)
Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $G$ là điểm trên đường tròn nội tiếp sao cho $FG$ là đường kính. Hai đường thẳng $EG$ và $FD$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh $CH\parallel AB$.
Sáu điểm phân biệt $A_0,A_1,\dots,A_5$ được đánh số theo thứ tự trên đường tròn tâm $O$. Gọi $B_i$ là trung điểm của $A_iA_{i+1}$ với $i=0,1,\dots,5$ (chỉ số lấy theo môđun $6$). Giả sử không có hai cạnh đối nào của lục giác $A_0A_1\cdots A_5$ song song. Một đường thẳng qua $O$ cắt lại đường tròn $B_iOB_{i+3}$ tại $C_i$, với $i=0,1,2$. Gọi $\ell_i$ là tiếp tuyến của đường tròn $B_iOB_{i+3}$ tại $C_i$. Hai đường $\ell_i,\ell_j$ cắt nhau tại $D_k$, trong đó $\{i,j,k\}=\{0,1,2\}$. Chứng minh ba đường tròn $B_iOB_{i+3}$ và đường tròn $D_0D_1D_2$ có một điểm chung trong mặt phẳng.
Có thể phân hoạch tập số nguyên dương thành hai lớp sao cho không lớp nào chứa một cấp số cộng vô hạn (có công sai dương) hay không?
Nếu yêu cầu thêm rằng trong mỗi lớp $C$ của phân hoạch, tập các hiệu
$$\{\min\{n:n\in C\text{ và }n\gt m\}-m:m\in C\}$$
bị chặn thì sao?