Giả sử $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{1993}=P_{0}$ là các điểm phân biệt trong mặt phẳng $xy$ với các tính chất sau:
(i) cả hai tọa độ của $P_{i}$ đều là số nguyên, đối với $i=1,2, \ldots, 1993$;
(ii) không có điểm nào ngoài $P_{i}$ và $P_{i+1}$ trên đoạn thẳng nối $P_{i}$ với $P_{i+1}$ có tọa độ đều là số nguyên, đối với $i=0,1, \ldots, 1992$.
Chứng minh rằng với một số $i, 0 \leq i \leq 1992$, tồn tại một điểm $Q$ có tọa độ ($q_{x}, q_{y}$) trên đoạn thẳng nối $P_{i}$ với $P_{i+1}$ sao cho cả $2q_{x}$ và $2q_{y}$ đều là số nguyên lẻ.
Tìm tổng số các giá trị nguyên khác nhau của hàm
$$
f(x) = [x] + [2x] + \left[\frac{5x}{3}\right] + [3x] + [4x]
$$
lấy số thực $x$ với $0 \leq x \leq 100$.
Lưu ý: $[t]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $t$.
Cho $ABCD$ là một tứ giác sao cho tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau và góc $\angle ABC$ là $60$ độ. Cho $\ell$ là đường thẳng đi qua $D$ và không cắt tứ giác (trừ $D$). Đặt $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $\ell$ với $AB$ và $BC$. Gọi $M$ là giao điểm của $CE$ và $AF$.
Chứng minh rằng $CA^{2} = CM \times CE$.
hãy để
$$
f(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{0} \quad \text{Và} \quad g(x) = c_{n+1} x^{n+1} + c_{n} x^{n} + \cdots + c_{0}
$$
là các đa thức khác 0 có hệ số thực sao cho $g(x) = (x + r) f(x)$ đối với một số thực $r$. Nếu $a = \max \left(\left|a_{n}\right|, \ldots, \left|a_{0}\right|\right)$ và $c = \max \left(\left|c_{n+1}\right|, \ldots, \left|c_{0}\right|\right)$, hãy chứng minh rằng $\frac{a}{c} \leq n+1$.
Một số thực có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn $1$ được ghi vào mỗi ô của mảng $n \times n$, sao cho tổng các số trong mỗi ô vuông $2 \times 2$ bằng 0. Chứng minh rằng với $n$ lẻ thì tổng của tất cả các số đều nhỏ hơn $n$.
Cho $P_1P_2...P_n$ là một đa giác nội tiếp trong một đường tròn và $Q$ là một điểm nằm ngoài mặt phẳng của đường tròn. Cho $\beta_i$ là mặt phẳng vuông góc với $QP_i$ và đi qua $P_i$, $i = 1, 2, ..., n$. Chứng minh rằng giao điểm của mọi mặt phẳng $\beta_i$ là một điểm.
Cho đường tròn và tâm $O$, một điểm $A$ bên trong đường tròn và khoảng cách $h$, dựng tam giác $BAC$ với $\angle A = 90^\circ$, $B$ và $C$ trên đường tròn và đường cao từ $A$ có chiều dài $h$.
Trên mỗi mặt của hai con xúc xắc ghi một số nguyên dương. Hai con xúc xắc được tung ra và các số ở mặt trên được cộng lại. Xác định xem người ta có thể chọn các số nguyên trên các mặt sao cho tổng có thể là $2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13$, tất cả đều có khả năng như nhau không?
Cho $Q$ là một khối lập phương đơn vị. Chúng ta nói một tứ diện là "tốt" nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các đỉnh của nó đều nằm trên biên của $Q$. Tìm tất cả các thể tích có thể có của tứ diện "tốt".
Chúng ta hãy xem xét ba cặp đường thẳng không song song trong mặt phẳng. Ba điểm đang chuyển động dọc theo những đường này với vận tốc khác 0, mỗi điểm trên mỗi đường (chúng ta coi chuyển động đã diễn ra trong thời gian vô hạn và tiếp tục vô tận trong tương lai). Có thể xác định được những đường thẳng này, vận tốc của từng điểm chuyển động và vị trí của chúng tại một thời điểm “không” nào đó sao cho các điểm chưa bao giờ, đang hoặc sẽ thẳng hàng?
Giả sử hai hàm $f(x)$ và $g(x)$ được xác định cho tất cả $x$ sao cho $2 \lt x \lt 4$ và thỏa mãn $2 \lt f(x) \lt 4$, $2 \lt g(x) \lt 4$, $f(g(x)) = g(f(x)) = x$ và $f(x) \cdot g(x) = x^{2}$ cho tất cả các giá trị như vậy của $x$. Chứng minh rằng $f(3) = g(3)$.
Một tứ giác lồi $A B C D$ nội tiếp một đường tròn có tâm $O$. Các góc $\angle A O B, \angle B O C, \angle C O D$ và $\angle D O A$, được sắp xếp theo thứ tự nào đó, có cùng kích thước với các góc của tứ giác $A B C D$. Chứng minh $A B C D$ là hình vuông.
Một hình vuông được chia thành 16 ô vuông bằng nhau, thu được tập hợp 25 đỉnh khác nhau. Số đỉnh ít nhất phải loại bỏ khỏi tập hợp này là bao nhiêu để không có 4 điểm nào của tập hợp còn lại là đỉnh của bất kỳ hình vuông nào có cạnh song song với các cạnh của hình vuông ban đầu?
Có tồn tại số nguyên dương $a \gt b \gt 1$ sao cho với mỗi số nguyên dương $k$ tồn tại một số nguyên dương $n$ mà $a n + b$ là lũy thừa thứ $k$ của một số nguyên dương không?
Giả sử $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ và $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ là hai dãy hữu hạn bao gồm các số thực khác nhau $2n$. Sắp xếp lại từng chuỗi theo thứ tự tăng dần, chúng ta thu được $a_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, \ldots, a_{n}^{\prime}$ và $b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, \ldots, b_{n}^{\prime}$. Chứng minh rằng
$$
\max_{1 \leq i \leq n} \left| a_{i} - b_{i} \right| \geq \max_{1 \leq i \leq n} \left| a_{i}^{\prime} - b_{i}^{\prime} \right|.
$$