Trong một hang động hai chiều có nền và trần song song, hai nhũ đá dài $16$ và $36$ rủ vuông góc từ trần xuống, còn hai măng đá cao $25$ và $49$ mọc vuông góc từ nền lên. Nếu bốn đầu mút của chúng là bốn đỉnh của một hình vuông theo một thứ tự nào đó, hãy tính chiều cao của hang.
Một polyomino là hình liên thông được ghép từ một hoặc nhiều hình vuông đơn vị theo các cạnh. Hãy xác định và chứng minh số polyomino đôi một không bằng nhau qua phép dời hình, không có lỗ, có chu vi $180$ và diện tích $2024$.
Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương thỏa mãn
$$x^{\log_{2}(yz)} = 2^{8} \cdot 3^{4}, \quad y^{\log_{2}(zx)} = 2^{9} \cdot 3^{6}, \quad \text{và} \quad z^{\log_{2}(xy)} = 2^{5} \cdot 3^{10},$$
Tính giá trị nhỏ nhất có thể của $xyz$.
Điểm $P$ nằm trong hình vuông $ABCD$ sao cho diện tích các tam giác $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCD$, $\triangle PDA$ là $1$, $2$, $3$, $4$ theo một thứ tự nào đó. Tính $PA \cdot PB \cdot PC \cdot PD$.
Sophie đang ở $(0,0)$ trên lưới tọa độ và muốn đến $(3,3)$. Khi ở $(x,y)$, trong một bước cô có thể đi đến một trong các điểm $(x + 1, y)$, $(x, y + 1)$, $(x - 1, y + 1)$ hoặc $(x + 1, y - 1)$. Cô không được đi lại qua một điểm đã thăm; cả tọa độ $x$ lẫn tọa độ $y$ đều không được nhỏ hơn $0$ hoặc lớn hơn $3$. Tính số đường đi Sophie có thể chọn để đến $(3,3)$.
Một nửa hình tròn được gọi là nội tiếp một nửa hình tròn khác nếu đường kính của nửa hình tròn nhỏ là một dây của nửa hình tròn lớn, còn cung tròn nhỏ tiếp xúc với đường kính của nửa hình tròn lớn.
Nửa hình tròn $S_{1}$ nội tiếp nửa hình tròn $S_{2}$, và nửa hình tròn này lại nội tiếp nửa hình tròn $S_{3}$. Bán kính của $S_{1}$ và $S_{3}$ lần lượt bằng $1$ và $10$; đường kính của $S_{1}$ và $S_{3}$ song song. Hai đầu đường kính của $S_{3}$ là $A$, $B$, và cung của $S_{2}$ tiếp xúc với $AB$ tại $C$. Tính $AC \cdot CB$.
Jerry đặt nhiều nhất một quân xe vào mỗi ô của bảng $2025 \times 2025$. Một quân xe tấn công quân xe khác nếu hai quân nằm cùng hàng hoặc cùng cột và giữa chúng không có quân xe nào khác.
Hãy xác định và chứng minh số quân xe lớn nhất có thể đặt sao cho không quân xe nào tấn công bốn quân xe khác.
Cho tam giác đều $\triangle ABC$ có cạnh $6$. Điểm $P$ nằm trong $\triangle ABC$ và thỏa $\angle BPC = 120^\circ$. Đường tròn đường kính $\overline{AP}$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ tại $X \neq A$. Biết $AX = 5$, tính $XP$.
Gọi $\mathcal{S}$ là tập tất cả đa thức không hằng $P$ có hệ số nguyên, hệ số cao nhất bằng 1 và thỏa $P\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right) = P\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)$. Nếu $Q$ là phần tử có bậc nhỏ nhất của $\mathcal{S}$, hãy tính giá trị duy nhất có thể của $Q(10) - Q(0)$.
Trên bảng ô vuông $11 \times 11$, mỗi cặp ô chung cạnh được nối bởi một cửa. Karthik muốn đi một đường trong bảng. Cậu có thể bắt đầu ở bất kỳ ô nào nhưng phải kết thúc tại đúng ô bắt đầu, và không được đi qua một cửa quá một lần, kể cả theo hai chiều ngược nhau. Tính số cửa nhiều nhất cậu có thể đi qua.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$, trong đó $\mathbb{Z}^+$ là tập các số nguyên dương, sao cho với mọi số nguyên dương $m, n$ ta có $f^{f(m)}(n) + n = f^m(n) + f(n)$. Ở đây lũy thừa của hàm ký hiệu phép lặp hàm.
Với mỗi số nguyên dương có bốn chữ số $n$, định nghĩa $f(n) = (a+b)^2$, trong đó $a, b$ lần lượt là các số tạo bởi hai chữ số đầu và hai chữ số cuối của $n$ (cho phép chữ số đầu bằng 0). Tìm tất cả các số nguyên dương có bốn chữ số $n$ sao cho $f(n) = n$.
Gọi *A*, *B*, *C*, *D* là bốn ô chính giữa một bảng ô vuông $4 \times 4$. Bốn ô này tạo thành vùng trung tâm. Một con ếch nhảy từ một ô sang ô chung cạnh. Nếu lần đầu tiên ếch rời vùng trung tâm bằng cách nhảy từ một ô nào đó, ta gọi ô đó là ô thoát. Tìm số cách để ếch bắt đầu ở *A* và lần đầu rời vùng trung tâm từ chính ô *A* ở bước nhảy thứ $n$. Biểu diễn đáp án theo $n$.
Cho $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số dương và $A$ là trung bình cộng của chúng. Chứng minh rằng
$$
A^{n-1} \geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_1 \cdots \hat{a}_i \cdots a_n, \quad \text{trong đó } \hat{a}_i \text{ ký hiệu số hạng } a_i \text{ bị bỏ đi.}
$$
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$, hoặc chứng minh không có $n$ như vậy, sao cho có vô hạn bộ khác nhau $(a_1, a_2, \dots, a_n)$, mỗi bộ gồm $n$ số hữu tỉ dương, thỏa mãn:
$$
\sum_{i=1}^{n} a_i \in \mathbb{Z}, \quad \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} \in \mathbb{Z}.
$$
