Gọi $\mathbb{R}$ là tập hợp tất cả các số thực. Tìm tất cả các hàm $f$ từ $\mathbb{R}$ đến $\mathbb{R}$ thỏa mãn:
(i) chỉ có hữu hạn nhiều $s$ trong $\mathbb{R}$ sao cho $f(s)=0$, và
(ii) $f\left(x^{4}+y\right)=x^{3} f(x)+f(f(y))$ cho tất cả $x, y$ trong $\mathbb{R}$.
Cho $x$, $y$, $z$ là các số dương sao cho
$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1.
$$
Cho thấy điều đó
$$
\sqrt{x + y z} + \sqrt{y + z x} + \sqrt{z + x y} \geq \sqrt{x y z} + \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}.
$$
Đặt $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}$ là một dãy các số nguyên không âm, trong đó $n$ là số nguyên dương. hãy để
$$
A_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}}{n}
$$
Chứng minh rằng
$$
a_{1}! a_{2}! \ldots a_{n}! \geq \left( \left\lfloor A_{n} \right\rfloor ! \right)^{n}
$$
trong đó $\left\lfloor A_{n} \right\rfloor$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $A_{n}$ và $a! = 1 \times 2 \times \cdots \times a$ cho $a \geq 1$ (và $0! = 1$). Khi nào sự bình đẳng giữ vững?
Cho $ABC$ là tam giác đều. Gọi $P$ là một điểm trên cạnh $AC$ và $Q$ là một điểm trên cạnh $AB$ sao cho cả hai tam giác $ABP$ và $ACQ$ đều nhọn. Cho $R$ là trực tâm của tam giác $ABP$ và $S$ là trực tâm của tam giác $ACQ$. Gọi $T$ là điểm chung của các đoạn $BP$ và $CQ$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $\angle CBP$ và $\angle BCQ$ sao cho tam giác $TRS$ là đều.
Cho $a$, $b$ và $c$ là các số thực dương. cho thấy điều đó
$$
\frac{a+b}{c^2} + \frac{c+a}{b^2} + \frac{b+c}{a^2} \ge \frac{9}{a+b+c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
$$
Giả sử $1 = a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n \le \dots$ là các số nguyên sao cho có vô số số nguyên dương $k$ với $k = \frac{i}{a_i}$ đối với một số $i$.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ đều tồn tại một số nguyên dương $j$ sao cho $n = \frac{j}{a_j}$.
Giả sử $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB \gt BC$ và $O$ là giao điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$ của nó. Phân giác góc $B\hat{A}C$ cắt $BD$ tại $E$. Chúng tôi gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Đường vuông góc với $AB$ được vẽ qua $E$, cắt $AB$ tại $F$; Đường vuông góc với $AE$ được vẽ qua $E$, cắt $AC$ tại $H$. Nếu cho $OH = a$ và $MF = \frac{4}{3}a$, hãy tính diện tích hình chữ nhật $ABCD$ theo $a$.
Cho $ABC$ là một tam giác với $\hat{C} = 60^\circ$. Điểm $P$ là điểm đối xứng của $A$ đối với điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp với cạnh $BC$. Chứng minh rằng nếu phân giác của đoạn $CP$ cắt đường thẳng chứa phân giác của góc $\hat{B}$ tại điểm $Q$ thì tam giác $CPQ$ là tam giác đều.
Đặt $A$ là tập con của tập $N$ gồm các số nguyên dương. Chúng ta sẽ nói rằng tập con $B$ của $N$ là cơ sở của $A$ nếu tổng các phần tử của mỗi tập con không trống của $B$ là khác nhau và mỗi phần tử của $A$ bằng một trong các tổng này. Chứng minh rằng với mỗi $n = 1, 2, 3, \ldots$ tồn tại một $k(n)$ sao cho mỗi tập con của $N$ với các phần tử $n$ có một cơ sở với tối đa các phần tử $k(n)$ và xác định (đối với mỗi $n$) giá trị tối thiểu của $k(n)$.
Cho một tập hợp 9 điểm bất kỳ trong mặt phẳng mà không có ba điểm nào thẳng hàng, hãy chứng minh rằng với mỗi điểm $P$ trong tập hợp đó, số tam giác có ba đỉnh trong số tám điểm còn lại và $P$ bên trong là số chẵn.
Một đường đua ô tô gồm 6 đường tròn $\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3, \Gamma_4, \Gamma_5$ và $\Gamma_6$, tiếp tuyến trong tại một điểm $P$. Độ dài của các vòng tròn lần lượt là 1 km, 2 km, 4 km, 8 km, 16 km và 32 km. Hai phi công $A$ và $B$ di chuyển dọc theo đường đua như sau: bắt đầu từ điểm $P$, phi công $A$ di chuyển $\Gamma_1$, khi đến $P$ lần nữa nó di chuyển $\Gamma_2$, sau đó di chuyển $\Gamma_3$, cho đến khi hoàn thành toàn bộ tuyến đường và đạt $P$ một lần nữa. Ở đó toàn bộ cuộc hành trình bắt đầu lại, lặp đi lặp lại. Nó luôn di chuyển với tốc độ không đổi và đi qua từng vòng tròn theo cùng một hướng. Phi công $B$ bắt đầu chuyến đi muộn hơn $A$ một chút và di chuyển qua các vòng tròn $\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3, \Gamma_4, \Gamma_5$ và $\Gamma_6$ theo cùng thứ tự với $A$, cùng tốc độ với $A$, nhưng luôn theo hướng ngược lại với $A$.
Giả sử $B$ biết thời điểm $A$ bắt đầu hành trình. Quyết định xem $B$ có thể chọn thời điểm bắt đầu chặng đua của riêng mình để hai xe không bao giờ vượt nhau trên đường đua hay không.
Cho tứ giác $ABCD$, ta dựng các tam giác cân $ABK$, $BCL$, $CDM$ và $DAN$ có đáy là các cạnh $AB$, $BC$, $CD$ và $DA$, và sao cho $K$, $L$, $M$ và $N$ là các điểm khác nhau và không có ba điểm nào thẳng hàng. Đường vuông góc với đường thẳng $KL$ do $B$ vẽ cắt đường vuông góc với đường thẳng $LM$ do $C$ vẽ tại điểm $P$; đường vuông góc với đường thẳng $MN$ do $D$ vẽ cắt đường vuông góc với đường thẳng $NK$ do $A$ vẽ tại điểm $Q$. Chứng minh rằng, nếu $P$ và $Q$ là hai điểm khác nhau thì $PQ$ vuông góc với $KM$.
Một sĩ quan cảnh sát cố gắng bắt tên trộm trên bảng $2001 \times 2001$. Họ chơi luân phiên nhau. Mỗi người chơi đến lượt của mình phải di chuyển một ô vuông theo một trong ba hướng sau:
$\downarrow$ (bên dưới); $\rightarrow$ (phải); $\vee$ (đường chéo phía trên bên trái).
Nếu cảnh sát ở ô góc dưới bên phải, anh ta có thể dùng chiêu thức của mình để di chuyển thẳng đến ô vuông góc trên bên trái (kẻ trộm không thể thực hiện nước đi này). Ban đầu cảnh sát ở quảng trường trung tâm và tên trộm ở ô vuông bên cạnh theo đường chéo phía trên bên phải của cảnh sát. Người cảnh sát bắt đầu trò chơi. Cho thấy rằng:
a. Kẻ trộm cố gắng di chuyển ít nhất $10000$ lần mà không bị bắt.
Có 2 hình tứ giác lồi bằng nhau được làm bằng giấy: $ABCD$ và $A'B'C'D'$ ($AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $CD = C'D'$, $DA = D'A'$). Tứ giác $ABCD$ được cắt dọc theo đường chéo $AC$ và tứ giác $A'B'C'D'$ được cắt dọc theo đường chéo $B'D'$, nhờ đó thu được bốn mảnh giấy.
a) Chỉ ra một quy trình không phụ thuộc vào hình dạng cụ thể của tứ giác lồi $ABCD$, cho phép tạo một hình bình hành với bốn mảnh giấy.
b) Nếu các cạnh của tứ giác có số đo là $3$, $3$, $4$ và $6$ thì điều đó cho thấy chu vi của hình bình hành lớn hơn $16$ và nhỏ hơn $28$, bất kể thứ tự của các cạnh.
Gọi $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp và $O$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $ABC$ với $AC \neq BC$. Đường tiếp tuyến của $\Gamma$ do $C$ vẽ cắt đường thẳng $AB$ tại $M$. Đường thẳng vuông góc với $OM$ do $M$ vẽ cắt các đường thẳng $BC$ và $AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng các đoạn $PM$ và $MQ$ bằng nhau.
Cho $a$, $b$ và $c$ là các số thực dương. cho thấy điều đó
$$
\left(\frac{a}{b+c} + \frac{1}{2}\right) \left(\frac{b}{c+a} + \frac{1}{2}\right) \left(\frac{c}{a+b} + \frac{1}{2}\right) \ge 1
$$
Điểm $P$ nằm trong tam giác đều $ABC$ và thỏa mãn $\angle APC = 120^\circ$. Đặt $M$ là giao điểm của $CP$ với $AB$ và $N$ là giao điểm của $AP$ với $BC$. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBN$ bằng cách thay đổi $P$.
Chúng ta có một bàn cờ hình vuông $2002 \times 2002$ với các ô vuông được sơn đen trắng giống như một bàn cờ vua. Các hàng được đánh số từ $1$ đến $2002$ và các cột từ $1$ đến $2002$ (hộp trong hàng $1$ và cột $1$ có màu đen). Trong mỗi hộp, chúng ta viết tích của số hàng và số cột chứa hộp đó. Gọi $A$ là tổng các số ghi trong hộp đen và $B$ là tổng các số ghi trong hộp trắng.
Chứng minh rằng $A - B$ là hình vuông hoàn hảo.