Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 1986

Một quả bóng di chuyển không ngừng trên bàn bi-a tròn. Khi nó chạm vào cạnh nó được phản chiếu. Chứng minh rằng nếu nó đi qua một điểm trên bàn ba lần, thì nó đi qua nó vô số lần.

Tìm số cách mà một số nguyên dương $n$ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một hoặc nhiều số nguyên dương liên tiếp.

Máy bay Poincaré là một nửa mặt phẳng được giới hạn bởi một đường $R$. Các đường thẳng được coi là (1) nửa đường vuông góc với $R$, và (2) hình bán nguyệt với tâm trên $R$. Cho thấy rằng với bất kỳ dòng nào $L$ và bất kỳ điểm nào $P$ không có trên $L$, có vô số dòng qua $P$ không giao nhau $L$. Chứng minh rằng nếu $ABC$ là một tam giác, thì tổng các góc của nó nằm trong khoảng $(0, \pi)$.

Tìm tất cả các số 10 chữ số $a_0a_1\ldots a_9$ sao cho, với mỗi $k$, $a_k$ là số lần mà chữ số $k$ xuất hiện trong số.

Một số được viết theo mỗi ô vuông của bàn cờ, sao cho mỗi số không nằm trên đường viền là giá trị trung bình của 4 số lân cận. Chứng minh rằng nếu số lớn nhất là $N$, thì có một số bằng $N$ trong các ô vuông biên giới.

Trong các phân đoạn đường sơ đồ $AB$ và $CD$ có độ dài $1$ trong khi góc $ABC$ và $CBD$ là $90^{\circ}$ và $30^{\circ}$ tương ứng. Tìm $AC$.

Đối với các số nguyên dương $n$ và $k$, xác định $F(n, k) = \sum_{r=1}^{n} r^{2k-1}$. Chứng minh rằng $F(n, 1)$ chia $F(n, k)$.

Một dây cung $ST$ có độ dài không đổi trượt xung quanh hình bán nguyệt có đường kính $AB$. $M$ là trung điểm của $ST$ và $P$ là chân của đường vuông góc từ $S$ đến $AB$. Chứng minh rằng góc $SPM$ là không đổi cho tất cả các vị trí của $ST$.

Gọi $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \ldots$ là một chuỗi các số nguyên thỏa mãn quan hệ lặp lại $u_{n+2} = u_{n+1}^{2} - u_{n}$. Giả sử $u_{1} = 39$ và $u_{2} = 45$. Chứng minh rằng $1986$ chia vô số số hạng của dãy số.

Mathlon là một cuộc thi trong đó có các sự kiện thể thao $M$. Một cuộc thi như vậy đã được tổ chức trong đó chỉ có $A$, $B$ và $C$ tham gia. Trong mỗi sự kiện, điểm $p_{1}$ được trao cho vị trí thứ nhất, $p_{2}$ cho thứ hai và $p_{3}$ cho vị trí thứ ba, nơi $p_{1} \gt p_{2} \gt p_{3} \gt 0$ và $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ là số nguyên. Điểm cuối cùng cho $A$ là $22$, cho $B$ là $9$ và đối với $C$ cũng là $9$. $B$ đã giành được $100$ mét. Giá trị của $M$ là bao nhiêu và ai đứng thứ hai trong môn nhảy cao?

được $A$, $B$ các đỉnh liền kề của a $n$-Agon thông thường $(n \geq 5)$ của mặt phẳng có tâm $O$. một tam giác $XYZ$ phù hợp với $OAB$ và ban đầu trùng với nó, nó di chuyển trong máy bay để $Y$ y $Z$ mô tả đường viền của đa giác, rời khỏi $X$ bên trong. Tìm vị trí hình học của $X$.

Chúng tôi chỉ ra bằng $m(a, b)$ trung bình số học của các số thực dương $a$ và $b$. Với hàm thực dương $g$ có dẫn xuất dương thứ nhất và thứ hai, chúng tôi xác định $\mu(a, b)$ trung bình so với hàm $g$ bằng $$
2 g(\mu(a, b))=g(a)+g(b)
$$ nói, Hợp lý, cái nào trong hai nghĩa là $m$ và $\mu$ là lớn hơn.

Tìm tất cả các hàm $f$ được xác định trong tập hợp các số thực không âm và lấy các giá trị thực không âm, sao cho 1) $\quad f(x f(y)) f(y)=f(x+y)$ cho tất cả $x, y \geq 0$, 2) $\quad f(2)=0$, 3) $\quad f(x) \neq 0$ cho $0 \leq x\lt 2$.

Cho $d$ là một số nguyên dương khác với $2$, $5$ và $13$. Chứng minh rằng bạn có thể tìm thấy các yếu tố khác nhau $a, b$ trong bộ $\{2, 5, 13, d\}$, để $ab - 1$ không phải là một số chính phương.

Chúng ta có trong mặt phẳng một điểm $P_{0}$ và một tam giác $A_{1} A_{2} A_{3}$. Chúng tôi định nghĩa $A_{s}=A_{s-3}$ cho tất cả $s \geq 4$. Chúng tôi xây dựng một liên tiếp các điểm $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots$, để $P_{k+1}$ là hình ảnh của $P_{k}$ bởi vòng quay trung tâm $A_{k+1}$ và góc $120^{\circ}$ Theo chiều kim đồng hồ, đối với $k=0,1,2 \ldots$ để chỉ ra rằng nếu $P_{1986}=P_{0}$, thì tam giác $A_{1} A_{2} A_{3}$ là đều.

Chúng ta có một tập hợp hữu hạn các điểm mặt phẳng, mỗi điểm có toàn bộ tọa độ. Người ta hỏi liệu có thể tô màu một số điểm của tập hợp màu đỏ và phần còn lại bằng màu trắng sao cho mọi đường thẳng $L$ song song với một trong các trục tọa độ chứa các chấm đỏ và trắng với số lượng có sự khác biệt về giá trị tuyệt đối là 1 cực đại. biện minh cho câu trả lời.

Tìm các giá trị của $n \in \mathbb{N}$ sao cho $5^{n}+3$ là lũy thừa của 2 số mũ tự nhiên.

Tính $$
\prod_{k=1}^{14} \cos \left(\frac{k \pi}{15}\right)
$$

Mỗi đỉnh của một hình ngũ giác được gán một số nguyên, để tổng của năm số nguyên là dương. Nếu ba đỉnh liên tiếp đã gán số lần lượt là $x, y, z$ và là $y\lt 0$, thì thao tác sau được phép thực hiện: các số $x, y, z$ được thay thế tương ứng bằng $x+y$, $-y$, $z+y$. Thao tác này có thể được thực hiện lặp đi lặp lại trong khi ít nhất một trong năm số là số âm. Xác định xem quá trình này có nhất thiết phải kết thúc một số bước hữu hạn hay không.

một phân đoạn $d$ Chia đoạn $s$ Nếu có tự nhiên $n$ như vậy mà
$$
n d = d + d + \stackrel{n}{n}^{*} + d = s
$$

a) Chứng minh rằng nếu phân đoạn $d$ Chia các phân đoạn $s$ y $s'$ với $s \lt s'$, sau đó chia phân đoạn chênh lệch $s' - s$.

b) chứng minh rằng không có phân đoạn nào phân chia cạnh nhau $s$ Và đến đường chéo $s'$ của một hình ngũ giác thông thường (để lý luận về hình ngũ giác thông thường có các cạnh nằm trong các đường chéo của hình ngũ giác đã cho, mà không tính toán số).