Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 1982

Trình bày cách xây dựng độ dài đoạn thẳng $\sqrt[4]{a^4 + b^4}$ đã cho các phân đoạn có độ dài $a$ và $b$.

$S$ là một mảng $(k+1) \times (k+1)$ của các điểm mạng. Có bao nhiêu hình vuông của chúng trong $S$?

Năm quả cầu bán kính $r$ nằm bên trong một hình nón hình tròn bên phải. Bốn trong số các quả cầu nằm trên đáy của hình nón. Mỗi cái chạm vào hai cái khác và hai bên dốc của hình nón. Quả cầu thứ năm chạm vào mỗi cái trong số bốn hình nón còn lại và cũng là các cạnh dốc của hình nón. Tìm thể tích của hình nón.

Bất kỳ số nguyên dương $n$ nào cũng có thể được viết dưới dạng $n = 2^b(2c + 1)$. Chúng tôi gọi $2c + 1$ là phần * lẻ của * $n$. Cho một số nguyên lẻ $n \gt 0$, xác định dãy $a_0, a_1, a_2, \ldots$ như sau: $a_0 = 2^n - 1$, $a_{k+1}$ là phần lẻ của $3a_k + 1$. Tìm $a_n$.

Các góc của tam giác $ABC$ thỏa mãn $\frac{\angle A}{\angle C} = \frac{\angle B}{\angle A} = 2$. Trung tâm là $O$. $K$, $L$ lần lượt là excenters của Excircles đối diện $B$ và $A$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ và $OKL$ là tương tự nhau.

Ba miếng ghép đánh số được đặt trong một khay như hình dưới đây:

| 1 | 2 |
|---|---|
| 3 | |

Chứng minh rằng không thể đổi chỗ hai miếng $1$ và $3$ bằng một dãy thao tác, mỗi thao tác trượt một miếng vào ô trống kề nó.

Nếu $a$, $b$ và $c$ là gốc của phương trình $x^{3} - x^{2} - x - 1 = 0$, i. Chứng minh rằng $a$, $b$ và $c$ là khác biệt: II. Chứng minh rằng $$
\frac{a^{1982} - b^{1982}}{a - b} + \frac{b^{1982} - c^{1982}}{b - c} + \frac{c^{1982} - a^{1982}}{c - a}
$$ là một số nguyên.

Cho $p$ là một hoán vị của bộ $S_{n} = \{1, 2, \ldots, n\}$. Một phần tử $j \in S_{n}$ được gọi là điểm cố định của $p$ nếu $p(j) = j$. Gọi $f_{n}$ là số hoán vị không có điểm cố định và $g_{n}$ là số có chính xác một điểm cố định. Chứng minh rằng $\left|f_{n} - g_{n}\right| = 1$.

Trong sơ đồ, $OB_{i}$ là song song và có độ dài bằng $A_{i}A_{i+1}$ cho $i=1,2,3$ và $4$ ($A_{5}=A_{1}$). Chứng minh rằng diện tích của $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}$ gấp đôi $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$.

Độ cao của một tứ diện $ABCD$ được mở rộng ra bên ngoài đến các điểm $A'$, $B'$, $C'$ và $D'$ tương ứng, trong đó $AA' = k / h_a$, $BB' = k / h_b$, $CC' = k / h_c$ và $DD' = k / h_d$. Ở đây, $k$ là một hằng số và $h_a$ biểu thị độ dài của độ cao của $ABCD$ từ đỉnh $A$, v.v. Chứng minh rằng tâm của tứ diện $A'B'C'D'$ trùng với tâm của $ABCD$.

Gọi $\mathbb{R}^n$ là không gian Euclide chiều $n$. Xác định số nhỏ nhất $g(n)$ điểm của một tập hợp trong $\mathbb{R}^n$ sao cho mọi điểm trong $\mathbb{R}^n$ đều ở khoảng cách vô lý từ ít nhất một điểm trong tập hợp đó.

Parabola $y = x^2$ được vẽ và sau đó các trục sẽ bị xóa. Bạn có thể khôi phục chúng bằng cách sử dụng thước và la bàn không?

Một số thực được gán cho mỗi ô vuông đơn vị trong một tờ giấy bình phương vô hạn. Chứng minh rằng một số ô chứa một số nhỏ hơn hoặc bằng ít nhất bốn trong số tám ô lân cận của nó.

$0 \lt x, y, z \lt \pi / 2$. Chúng tôi có $\cos x = x$, $\sin (\cos y) = y$, $\cos (\sin z) = z$. $x, y, z$ là lớn nhất và nhỏ nhất?

Cho $\{a\}$ biểu thị sự khác biệt giữa $a$ và số nguyên gần nhất. Ví dụ $\{3.8\} = 0.2$, $\{-5.4\} = 0.4$. Chứng minh rằng $$
\{a\}\{2a\}\{3a\}\ldots\{na\} \geq \frac{\{a\}^n}{2^n}
$$

Tập hợp con lớn nhất của $\{1, 2, \ldots , 1982\}$ là gì với thuộc tính không có phần tử nào là tích của hai phần tử riêng biệt khác.

$\{a\}_1, \{a\}_2, \ldots, \{a\}_{1982}$ là hoán vị của $1, 2, \ldots, 1982$. Nếu $\{a\}_1 \gt \{a\}_2$, chúng tôi hoán đổi $\{a\}_1$ và $\{a\}_2$. Sau đó if$\,$ (mới) $\, \{a\}_2 \gt \{a\}_3$ chúng tôi hoán đổi $\{a\}_2$ và $\{a\}_3$. và như vậy. Sau khi hoán đổi tiềm năng $1981$, chúng tôi có một hoán vị mới $\{b\}_1, \{b\}_2, \ldots, \{b\}_{1982}$. Sau đó, chúng tôi so sánh $\{b\}_{1982}$ và $\{b\}_{1981}$. Nếu $\{b\}_{1981} \gt \{b\}_{1982}$, chúng tôi hoán đổi chúng. Sau đó, chúng tôi so sánh $\{b\}_{1980}$ và (mới) $\{b\}_{1981}$. Vì vậy, cuối cùng chúng tôi đến $\{c\}_1, \{c\}_2, \ldots, \{c\}_{1982}$. Chúng tôi thấy rằng $\{a\}_{100} = \{c\}_{100}$. $\{a\}_{100}$ là giá trị gì?

Vòng tròn $C$ có tâm $O$ và RADIUS $r$ và chứa các điểm $A$ và $B$. Vòng tròn $C'$ chạm vào các tia $OA$ và $OB$ và có tâm $O'$ và bán kính $r'$. Tìm diện tích của tứ giác $OAOB$.

$\mathbf{x}$ là số nguyên dương. Đặt $\mathbf{a} = \mathbf{x}^{1 / 12}$, $\mathbf{b} = \mathbf{x}^{1 / 4}$, $\mathbf{c} = \mathbf{x}^{1 / 6}$. Chứng minh rằng $2^{\mathrm{a}} + 2^{\mathrm{b}} \geq 2^{1 + \mathrm{c}}$.

$M$ là một điểm bên trong một tứ diện đều. Chứng minh rằng chúng ta có thể tìm thấy hai đỉnh $A$, $B$ của tứ diện sao cho $\cos \angle AMB \leq -1/3$.