Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 1985

$a$, $b$, $c$, $d$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^2 + a x + b = y^2 + c y + d$ có vô số giải pháp số nguyên IFF $a^2 - 4b = c^2 - 4d$.

$A$, $B$ là số thực. Tìm điều kiện cần và đủ để $A x + B [x] = A y + B [y]$ không có giải pháp nào ngoại trừ $x = y$.

$a$, $b$, $c$, $d$ là số nguyên với $ad \neq bc$. Chứng minh rằng $\frac{1}{(ax+b)(cx+d)}$ có thể được viết dưới dạng $\frac{r}{ax+b} + \frac{s}{cx+d}$. Tìm tổng $$
\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{2998 \cdot 3001}
$$

Một tứ giác lồi được nội tiếp trong một đường tròn bán kính $1$. Chứng minh rằng chu vi của nó trừ đi tổng của hai đường chéo của nó nằm giữa $0$ và $2$.

Chứng minh hoặc bác bỏ rằng tồn tại một số nguyên được nhân đôi khi chữ số ban đầu được chuyển đến cuối.

Cho $P_{1}$ và $P_{2}$ là các đa giác đều đặn của $1985$ các mặt và chu vi $x$ và $y$ tương ứng. mỗi bên của $P_{1}$ là tiếp tuyến với một vòng tròn nhất định $c$ và vòng tròn này đi qua mỗi đỉnh của $P_{2}$. Chứng tỏ $x + y \geq 2c$. (Bạn có thể cho rằng $\tan \theta \geq \theta$ cho $0 \leq \theta \lt \frac{\pi}{2}$.)

Chứng minh rằng $2^{n-1}$ chia $n!$ nếu và chỉ khi $n=2^{k-1}$ cho một số nguyên dương $k$.

Chiều dài các cạnh của một tam giác là các đơn vị $6$, $8$ và $10$. Chứng minh rằng có chính xác một đường thẳng đồng thời chia đôi diện tích và chu vi của tam giác.

Cho $1 \lt x_{1} \lt 2$ và đối với $n = 1, 2, \ldots$, xác định $x_{n+1} = 1 + x_{n} - \frac{1}{2} x_{n}^{2}$. Chứng minh rằng, đối với $n \geq 3$, $\left| x_{n} - \sqrt{2} \right| \lt 2^{-n}$.

Đối với mỗi số thực $x_{1}$, chuỗi $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots$ được xây dựng bằng cách làm cho $$
x_{n+1} = x_{n}\left(x_{n} + \frac{1}{n}\right) \text{ cho mỗi } n \geq 1
$$ hiển thị rằng có chính xác một giá trị của $x_{1}$ cho $0 \lt x_{n} \lt x_{n+1} \lt 1$ cho mỗi $n$.

Các tia không liên kết được xem xét $O x, O y$. bởi điểm $A \in O x$ Các cặp dòng được vẽ $r_{1}, r_{2}$, chống song song với góc $x O y$; được $M, N$ các giao điểm của $r_{1}$ với $O y$ và của $r_{2}$ với $O x$tương ứng. được $P$ Điểm giao nhau của các góc của các góc $A M y, A N y$. Tìm vị trí hình học của $P$ khi thay đổi $A$.

Gọi $\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên và $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ là tập hợp các cặp số nguyên có thứ tự. Tổng của các cặp này được xác định bởi $$
(a, b)+\left(a', b'\right)=\left(a+a', b+b'\right)
$$ là $(-a,-b)$ ngược lại với $(a, b)$. Nghiên cứu nếu có một tập hợp con $E$ của $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ đáp ứng các điều kiện sau:
a) Tổng của hai cặp $E$ cũng từ $E$.
b) Cặp $(0,0)$ thuộc $E$.
c) Nếu $(a, b)$ không phải là $(0,0)$, thì $(a, b)$ thuộc $E$, hoặc $(-a,-b)$ thuộc về $E$, nhưng không phải cả hai.

Chúng ta sẽ nói rằng một ma trận vuông là tổng không đổi nếu tổng các phần tử của mỗi hàng, của mỗi cột và của mỗi đường chéo, là các giá trị bằng nhau. Tương tự, một ma trận vuông là tích số không đổi nếu tích của các phần tử của mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo bằng nhau. Xác định các ma trận vuông của thứ tự $3$ trên $\mathbb{R}$ vừa là tổng và tích không đổi.

Cho $n$ và $k$ là hai số tự nhiên nguyên tố với nhau, với $0 \lt k \lt n$. Mỗi số của bộ $\mathcal{M} = \{1, 2, \ldots, n-1\}$ được tô màu xanh lam hoặc trắng. Được biết 1) với mỗi $i \in \mathcal{M}$, các phần tử $i$ và $n-i$ có cùng màu. 2) Đối với mỗi $i \in \mathcal{M}$, $i \neq k$, các phần tử $i$ và $|i-k|$ có cùng màu. Chứng minh rằng tất cả các phần tử của $\mathcal{M}$ đều có cùng màu.

Xét ba số tự nhiên $a, b, c$ sao cho tỉ số

$$
\frac{a+b+c}{a b c}
$$

là nghịch đảo của một số nguyên dương $k$. Chứng minh:

a) $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ không phải là số nguyên tố.

b) Với mỗi $k \in \mathbb{N}$, tồn tại bộ ba số tự nhiên $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện trên.

Cho $\mathcal{M}$ là một tập hợp 1985 số nguyên dương khác nhau, không có số nào có ước nguyên tố lớn hơn 26. Chứng minh rằng $\mathcal{M}$ chứa ít nhất một tập hợp con gồm bốn phần tử khác nhau, tích của nó là Lũy thừa thứ tư của một số nguyên.

Một chu vi trung tâm $O$ đi qua các đỉnh $A$ và $C$ của một tam giác $A B C$ và cắt các đoạn một lần nữa $A B$ và $B C$ lần lượt tại các điểm khác nhau $K$ và $N$. Các chu vi được cắt thành hình tam giác $A B C$ và $K B N$ được cắt chính xác tại hai điểm khác nhau $B$ và $M$. Chứng minh rằng góc $\widehat{O M B}$ là góc vuông.

Tìm phương trình chu vi đi qua các phụ thuộc của các nghiệm của phương trình $$
z^{3}+(-1+i) z^{2}+(1-i) z+i=0
$$

Một vòng tròn có tâm ở phía $AB$ của tứ giác $ABCD$. Ba cạnh còn lại là tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng $AD + BC = AB$.

Đưa ra phương trình $x^{5}-p x-1=0$, nghiên cứu giá trị của $p$ Để có hai nghiệm của phương trình, $x_{1}, x_{2}$, đồng thời là giải pháp của $x^{2}-a x+b=0$, với $a, b$ toàn bộ.