Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 1981

Chứng minh rằng có ít nhất 3 và nhiều nhất là 4 lũy thừa của $2$ với các chữ số $m$. $m$ có $4$ nào?

Cho $k$ hệ thống $x^2 - y^2 = 0$, $(x - k)^2 + y^2 = 1$ có chính xác (1) hai, (2) ba giải pháp thực sự?

Các tâm của các mặt của một khối lập phương tạo thành một khối bát diện thông thường có khối lượng $V$. Thông qua mỗi đỉnh của hình lập phương, chúng ta có thể đưa mặt phẳng vuông góc với đường chéo dài từ đỉnh. Các mặt phẳng này cũng tạo thành một hình bát diện đều. Chứng minh rằng khối lượng của nó là $27V$.

Một đồ thị có 100 điểm. Cho bốn điểm bất kỳ, có một điểm tham gia với ba điểm còn lại. Chứng minh rằng một điểm phải được nối với tất cả 99 điểm khác. Số nhỏ nhất có thể của các điểm như vậy (được liên kết với tất cả các điểm khác) là bao nhiêu?

Cho một tờ giấy và sử dụng một quy tắc, la bàn và bút chì, chỉ ra cách vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm đã cho, nếu chiều dài của thước và độ mở lớn nhất của la bàn đều nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa hai điểm. Bạn có thể không gấp giấy.

Hai tên trộm đã lấy trộm một hộp đựng rượu $8$. Làm thế nào họ có thể chia nó thành hai phần của $4$ mỗi lít nếu tất cả những gì họ có là một thùng chứa $3$ và một thùng chứa $5$? Hãy xem xét trường hợp chung của việc chia $m+n$ lít thành hai lượng bằng nhau, cho một bình chứa $m$ lít và một bình chứa $n$ lít (trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương). Chứng minh rằng có thể IFF $m+n$ là chẵn và $\frac{m+n}{2}$ được chia hết cho $\gcd(m, n)$.

Đối với bất kỳ số thực nào $t$, ký hiệu là $[t]$ số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $t$. Ví dụ: $[8]=8$, $[\pi]=3$ và $[-5 / 2]=-3$. Chứng minh rằng phương trình $$
[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345
$$ không có nghiệm thực.

$P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức thỏa mãn nhận dạng $P(Q(x)) \equiv Q(P(x))$ cho số thực $x$. Nếu phương trình $P(x)=Q(x)$ không có nghiệm thực, chứng tỏ phương trình $P(P(x))=Q(Q(x))$ cũng không có nghiệm thực.

Mười một nhóm sân khấu đã tham gia một lễ hội. Mỗi ngày, một số nhóm được lên lịch biểu diễn trong khi các nhóm còn lại tham gia vào khán giả chung. Vào cuối lễ hội, mỗi nhóm đã xem, trong những ngày nghỉ, ít nhất một buổi biểu diễn của mọi nhóm khác. Ít nhất lễ hội kéo dài bao nhiêu ngày?

Cho một tập hợp hữu hạn các dòng trong một mặt phẳng $P$, chứng tỏ rằng có thể vẽ một vòng tròn lớn tùy ý trong $P$ mà không gặp bất kỳ vòng tròn nào trong số chúng. Mặt khác, chứng tỏ rằng có thể sắp xếp một chuỗi vô hạn các dòng (dòng đầu tiên, dòng thứ hai, dòng thứ ba, v.v.) trong $P$ để mọi vòng tròn trong $P$ gặp ít nhất một trong các dòng. (Một điểm không được coi là một vòng tròn.)

Cho một vòng tròn bán kính $r$ và một đường tiếp tuyến $\ell$ đến vòng tròn qua một điểm nhất định $P$ trên vòng tròn. Từ một điểm thay đổi $R$ Trên đường tròn, một đường vuông góc $RQ$ được thu hút vào $\ell$ với $Q$ trên $\ell$. Xác định tổng diện tích tam giác $PQR$.

Tìm tất cả các giải pháp $(x, y)$ trong số nguyên dương đến $x^{3} - y^{3} = xy + 61$.

Tìm ví dụ về $m$ và $n$ sao cho $m$ là tích của các số nguyên dương liên tiếp $n$ và cũng là tích của $n + 2$ các số nguyên dương liên tiếp. Chứng minh rằng chúng ta không thể có $n = 2$.

Mười tám đội đang chơi trong một giải đấu. Cho đến nay, mỗi đội đã chơi đúng tám trận, mỗi trận có một đối thủ khác nhau. Cho thấy rằng có ba đội chưa chơi đội kia.

Các thực dương $x$, $y$ thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = x - y$. Chứng minh rằng $x^{2} + y^{2} \lt 1$.

$a$ và $b$ là $a \cos x + b \cos 3x \gt 1$ không có giải pháp thực sự. Chứng minh rằng $|b| \leq 1$.

$AB$ là đường kính của vòng tròn $C$. $M$ và $N$ là hai điểm bất kỳ trên vòng tròn. Dây cung $MA'$ vuông góc với đường $NA$ và dây cung $MB'$ vuông góc với đường thẳng $NB$. Chứng minh rằng $AA'$ và $BB'$ là song song.

Cho lăng trụ $ABCDEF$ có đáy $ABC$ và mặt trên $DEF$ là hai tam giác đều bằng nhau. Các cạnh bên là $AD$, $BE$ và $CF$. Tìm tất cả các điểm trên đáy cách đều ba đường thẳng $AE$, $BF$ và $CD$.

Có thể tô màu một nửa ô trong một mảng hình chữ nhật màu trắng và một nửa màu đen để trong mỗi hàng và cột nhiều hơn $\frac{3}{4}$ của các ô có cùng màu không?

Một số nguyên ban đầu được viết tại mỗi đỉnh của một khối lập phương. Một động thái là thêm $1$ vào các số ở hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh. Có thể cân bằng các số bằng một chuỗi các nước đi trong các trường hợp sau? (1) Các số ban đầu là $0$, ngoại trừ một đỉnh là $1$. (2) Các số ban đầu là $0$, ngoại trừ hai đỉnh là $1$ và đối diện theo đường chéo trên một mặt của hình lập phương. (3) Ban đầu, các con số đi vòng quanh cơ sở là $1$, $2$, $3$, $4$. Các đỉnh tương ứng trên cùng là $6$, $7$, $4$, $5$ (với $6$ phía trên $1$, $7$ phía trên $2$, v.v.).