Cho tam giác $\triangle ABC$ với $AB \lt AC$, và gọi $D$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AD = \frac{AC-AB}{2}$. Các điểm $X$ và $Y$ được chọn trên đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ sao cho $BX = CY$ và đường thẳng $AC$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $\triangle XDY$. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $\triangle XDY$ tại các điểm $X$ và $Y$ cắt nhau trên đường thẳng $BC$.
Cho tam giác nhọn $\triangle ABC$ với $AB \lt AC$, nội tiếp đường tròn $\omega_1$ tâm $O$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $\triangle ABC$ và $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Gọi $\omega_2$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $\triangle BHC$, đường thẳng $HO$ cắt $\omega_2$ tại $K \neq H$, và đường thẳng $MK$ cắt $\omega_2$ tại $P \neq K$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của $\omega_1$ tại $A$ và tiếp tuyến của $\omega_2$ tại $P$ cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $\triangle APK$.
Cho $a$, $b$ và $k$ là các số nguyên dương. Giả sử rằng với mọi số nguyên $n \ge 2025$ tồn tại số nguyên dương $x_n \gt n$ sao cho $x_n \mid n^2 + a$ và $x_n + k \mid n^2 + b$. Chứng minh rằng $k = b - a$.
Một quốc gia có $n$ thành phố, trong đó $n \geq 100$ là một số nguyên dương. Một số cặp thành phố được nối với nhau bởi các chuyến bay (hai chiều). Với hai thành phố $A$ và $B$, một đường đi là một dãy các thành phố đôi một khác nhau $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_k, C_{k+1}$ sao cho có chuyến bay giữa $C_i$ và $C_{i+1}$ với mọi $0 \leq i \leq k$, với $C_0 = A$ và $C_{k+1} = B$.
Một đường đi dài giữa $A$ và $B$ được định nghĩa là một đường đi sao cho không có đường đi nào khác có nhiều đỉnh hơn. Tương tự, một đường đi ngắn được định nghĩa là một đường đi có ít đỉnh nhất. Đặc biệt, nếu $A$ và $B$ có chuyến bay trực tiếp thì đó là đường đi ngắn nhất.
Giả sử rằng với mọi cặp thành phố $A$ và $B$ trong nước, tồn tại một đường đi dài và một đường đi ngắn giữa chúng không có thành phố chung nào (ngoại trừ $A$ và $B$). Với $n$ cho trước, tìm tất cả các giá trị có thể của số chuyến bay trong nước.
Cho $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{10}$ là các số nguyên sao cho với mỗi $i \in \{0,1,\ldots,2047\}$, tồn tại một tập con $S \subseteq \{0,1,\ldots,10\}$ thỏa mãn
$$
\sum_{j \in S} a_{j} \equiv i \pmod{2048}.
$$
Chứng minh rằng với mỗi $i \in \{0,1,\ldots,10\}$, có đúng một $j \in \{0,1,\ldots,10\}$ sao cho $a_{j}$ chia hết cho $2^{i}$ nhưng không chia hết cho $2^{i+1}$.
Chú ý: $\sum_{j \in S} a_{j}$ là kí hiệu tổng, chẳng hạn $\sum_{j \in \{2,5\}} a_{j} = a_{2} + a_{5}$, còn với tập rỗng $\varnothing$, ta quy ước $\sum_{j \in \varnothing} a_{j} = 0$.
$n$ cầu thủ của một đội khúc côn cầu tập trung để bầu đội trưởng. Ban đầu, họ đứng thành một vòng tròn, và mỗi người bỏ phiếu cho người đứng bên trái mình.
Các cầu thủ sẽ cập nhật phiếu bầu của mình qua một loạt các vòng. Trong một vòng, mỗi cầu thủ $a$ lần lượt cập nhật phiếu bầu của mình theo quy tắc sau: Tại thời điểm cập nhật, nếu $a$ đang bầu cho $b$, và $b$ đang bầu cho $c$, thì $a$ đổi phiếu bầu sang $c$. (Chú ý rằng $a$, $b$ và $c$ không nhất thiết phân biệt; nếu $b = c$ thì phiếu của $a$ không thay đổi trong lần cập nhật này.) Mỗi cầu thủ cập nhật phiếu đúng một lần trong mỗi vòng, theo một thứ tự do các cầu thủ quyết định (có thể khác nhau giữa các vòng).
Họ lặp lại quy trình cập nhật này trong $n$ vòng. Chứng minh rằng khi đó, tất cả $n$ cầu thủ đều bầu cho cùng một người.
Một đa thức $c_{d}x^{d} + c_{d - 1}x^{d - 1} + \dots + c_{1}x + c_{0}$ bậc $d$ được gọi là phản xạ nếu tồn tại số nguyên $n \geq d$ sao cho $c_{i} = c_{n - i}$ với mọi $0 \leq i \leq n$, trong đó $c_{i} = 0$ với $i \gt d$. Cho $\ell \geq 2$ là một số nguyên và $p(x)$ là một đa thức hệ số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại các đa thức phản xạ $q(x), r(x)$ hệ số nguyên sao cho
$$(1 + x + x^{2} + \dots + x^{\ell -1})p(x) = q(x) + x^{\ell}r(x).$$
Một hình chữ nhật $R$ được chia thành một tập $S$ gồm hữu hạn các hình chữ nhật nhỏ hơn có các cạnh song song với các cạnh của $R$ sao cho không có ba hình chữ nhật nào trong $S$ có chung một đỉnh. Ban đầu một con kiến ở đỉnh dưới bên trái của $R$. Trong một thao tác, ta có thể chọn một hình chữ nhật $r \in S$ sao cho con kiến đang ở một đỉnh nào đó của $r$, chẳng hạn $c$, và di chuyển con kiến đến một trong hai đỉnh của $r$ kề với $c$.
Giả sử sau hữu hạn thao tác, con kiến đến được đỉnh trên bên phải của $R$. Chứng minh rằng có một hình chữ nhật $r \in S$ được chọn trong ít nhất hai thao tác.
Chứng minh rằng đa thức hệ số thực theo $x, y, z$
$$
x^{4}(x - y)(x - z) + y^{4}(y - z)(y - x) + z^{4}(z - x)(z - y)
$$
không thể biểu diễn thành tổng hữu hạn các bình phương của các đa thức hệ số thực theo $x, y, z$.
Cho $k$, $l$, $n$ là các số nguyên dương, và $a_1, a_2, \dots, a_k \in \{1, 2, \dots, n\}$ thỏa mãn ba điều kiện sau:
(1) $n \ge 3$, $l \le n-2$, và $l-k \le \frac{n-3}{2}$;
(2) Với mỗi $t \in \{1, 2, \dots, l\}$, tồn tại một tập con khác rỗng $I \subseteq \{1, 2, \dots, k\}$ sao cho
$$
\sum_{i \in I} a_i \equiv t \pmod{n};
$$
(3) Với mỗi $t \in \{l+1, l+2, \dots, n\}$, không tồn tại tập con khác rỗng $I \subseteq \{1, 2, \dots, k\}$ nào sao cho
$$
\sum_{i \in I} a_i \equiv t \pmod{n}.
$$
Chứng minh rằng $a_1 + a_2 + \dots + a_k = l$.
Có $2025$ người và $66$ màu cho trước. Mỗi người có $66$ quả bóng, mỗi màu một quả, với tổng khối lượng của cả $66$ quả bóng bằng $1$.
Tìm số thực $C$ nhỏ nhất sao cho dù khối lượng các quả bóng được phân bố thế nào, ta luôn có thể chọn đúng một quả bóng từ mỗi người sao cho với mọi màu, tổng khối lượng các quả bóng được chọn có màu đó không vượt quá $C$.
Cho số nguyên dương $k$, và các số nguyên $a, b$ (không đồng thời bằng 0) thỏa mãn $0 \le a \lt k$, $0 \le b \lt k+1$. Định nghĩa dãy $\{T_n\}_{n \ge k}$ như sau:
$$
T_k = a, \quad T_{k+1} = b,
$$
và với $n \ge k + 2$,
$$
T_n \equiv T_{n-1} + T_{n-2} \pmod{n} \quad \text{với} \quad 0 \le T_n \lt n.
$$
Viết liên tiếp các biểu diễn thập phân của $T_k, T_{k+1}, \dots$ sau dấu phẩy ta được số thập phân vô hạn $x = 0.T_kT_{k+1}\dots$. Ví dụ, nếu $k = 66$, $a = 5$, $b = 20$ thì $T_{66} = 5$, $T_{67} = 20$, $T_{68} = 25$, $T_{69} = 45$, $T_{70} = 0$, $T_{71} = 45$, $T_{72} = 45$, $T_{73} = 17$, v.v., nên $x = 0.52025450454517\dots$.
Chứng minh rằng $x$ là số vô tỉ.
Cho $A_1A_2A_3A_4$ là một tứ giác lồi **không** nội tiếp và có các cặp cạnh đối **không** song song. Với $1 \le i \le 4$, gọi $M_i$ là trung điểm của $A_{i-1}A_{i+1}$. Gọi $B_i$ là điểm nằm trên tiếp tuyến tại $A_i$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_{i-1}A_iA_{i+1}$, sao cho điểm đối xứng của $M_i$ qua đường phân giác của góc $\angle A_{i+1}A_{i+2}A_{i+3}$ nằm trên đường thẳng $B_iA_{i+2}$. Gọi $C_i$ là giao điểm duy nhất của các đường thẳng $A_iA_{i+1}$ và $B_iB_{i+1}$. (Mọi chỉ số được lấy theo mod 4.)
Chứng minh rằng $C_1, C_2, C_3, C_4$ thẳng hàng.
Một tập hữu hạn điểm $P = \{(x_i, y_i) \mid i = 1, 2, \dots, n\}$ trong mặt phẳng được gọi là **thưa** nếu với mọi $1 \le i \lt j \le n$,
$$
|x_i - x_j| \cdot |y_i - y_j| \ge 1.
$$
(1) Cho $\{Q_1, Q_2, Q_3\}$ là một tập thưa sao cho không có điểm $Q_i$ nào nằm bên trong hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ nhận hai điểm còn lại làm hai đỉnh đối diện. Chứng minh rằng diện tích tam giác $Q_1Q_2Q_3$ không nhỏ hơn $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
(2) Cho $P$ là một tập thưa không có ba điểm nào thẳng hàng, tất cả nằm bên trong một hình vuông có cạnh song song với các trục tọa độ và độ dài cạnh $a$. Chứng minh rằng số điểm của $P$ không vượt quá
$$
\frac{a^2}{\sqrt{5}} + 2a + 1.
$$
Cho số nguyên lẻ $n \ge 3$ và một đa giác đều $n$ cạnh có tập đỉnh $V$, gọi $\mathcal{P}$ là tập tất cả các đa giác đều có các đỉnh thuộc $V$. Ví dụ, nếu $n = 15$ thì $\mathcal{P}$ gồm 1 đa giác đều 15 cạnh, 3 ngũ giác đều và 5 tam giác đều.
Hai người chơi Alice và Bob chơi trò chơi sau. Ban đầu mọi điểm trong $V$ đều chưa được tô màu. Alice đi trước, và hai người lần lượt tô màu một điểm chưa được tô trong $V$: Alice tô màu đỏ, Bob tô màu xanh. Trò chơi kết thúc khi mọi điểm đều đã được tô màu. Một đa giác trong $\mathcal{P}$ được gọi là **trội đỏ** nếu số đỉnh đỏ của nó nhiều hơn số đỉnh xanh.
Tìm số nguyên $k$ lớn nhất sao cho dù Bob chơi thế nào, Alice luôn có thể đảm bảo có ít nhất $k$ đa giác trội đỏ trong $\mathcal{P}$ khi trò chơi kết thúc.
Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức hệ số thực khác hằng sao cho với mọi số nguyên dương $m$, tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn $P(m) = Q(n)$.
(1) Chứng minh rằng nếu $\deg(Q)$ chia hết $\deg(P)$ thì tồn tại đa thức hệ số thực $h(x)$ sao cho $P(x) = Q(h(x))$.
(2) Chứng minh rằng $\deg(Q)$ chia hết $\deg(P)$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho tồn tại một tập vô hạn $A$ các số nguyên dương thỏa mãn: với $m$ phần tử phân biệt bất kì $a_1, a_2, \dots, a_m$ của $A$, cả $a_1+a_2+\dots+a_m$ và $a_1a_2\cdots a_m$ đều không có ước chính phương.
*Chú ý: Một số nguyên dương $n$ được gọi là không có ước chính phương (squarefree) nếu nó không chia hết cho bình phương của bất kì số nguyên tố nào.*
Cho $p_1, p_2, \dots, p_{2025}$ là các số thực, và $\{a_n^{(1)}\}_{n \ge 0}$, $\{a_n^{(2)}\}_{n \ge 0}$, $\dots$, $\{a_n^{(2025)}\}_{n \ge 0}$ là $2025$ dãy số thực thỏa mãn:
(1) Các số $a_0^{(i)}$ ($1 \le i \le 2025$) đều bằng không;
(2) Các số $a_1^{(i)}$ ($1 \le i \le 2025$) **không** đồng thời bằng không;
(3) Với $i = 1, 2, \dots, 2025$ và mọi số nguyên dương $n$,
$$
a_{n-1}^{(i)} + a_n^{(i)} + a_{n+1}^{(i)} = p_i \cdot a_n^{(i+1)},
$$
trong đó $a_n^{(2026)} = a_n^{(1)}$.
Chứng minh rằng tồn tại số thực dương $r$ và vô số số nguyên dương $n$ sao cho
$$
\max \{|a_n^{(1)}|, |a_n^{(2)}|, \dots, |a_n^{(2025)}|\} \gt r.
$$