Cho 100 chiếc hộp lớn vô hạn, trong mỗi hộp có một số chiếc bút đánh dấu. Người ta thực hiện quy trình sau. Ở bước 1, ta thêm một chiếc bút vào mỗi hộp. Ở bước 2, ta thêm một chiếc bút vào mỗi hộp đang chứa một số chẵn chiếc bút. Ở bước 3, ta thêm một chiếc bút vào mỗi hộp mà số bút trong đó chia hết cho 3, và cứ tiếp tục như vậy.
Trước khi quá trình bắt đầu, Bruno muốn phân phối một số chiếc bút vào các hộp sao cho mỗi hộp có ít nhất một chiếc bút và điều sau đây xảy ra: sau bất kỳ số bước nào cũng tồn tại hai hộp chứa số bút khác nhau. Hãy xác định xem điều này có thể thực hiện được hay không.
Trong bóng rổ, tỉ lệ ném phạt (FRT) của một cầu thủ là tỉ số giữa số lần ném phạt thành công và tổng số lần ném phạt của anh ta. Sau hiệp một của một trận đấu, FRT của Mateo nhỏ hơn $75\%$, và khi kết thúc trận đấu nó lớn hơn $75\%$. Có thể khẳng định chắc chắn rằng đã có một thời điểm FRT của anh ta đúng bằng $75\%$ hay không? Hãy trả lời câu hỏi tương tự với $60\%$ thay cho $75\%$.
Cho 100 chiếc hộp lớn vô hạn, trong mỗi hộp có một số chiếc bút đánh dấu. Người ta thực hiện quy trình sau. Ở bước 1, ta thêm một chiếc bút vào mỗi hộp. Ở bước 2, ta thêm một chiếc bút vào mỗi hộp đang chứa một số chẵn chiếc bút. Ở bước 3, ta thêm một chiếc bút vào mỗi hộp mà số bút trong đó chia hết cho 3, và cứ tiếp tục như vậy.
Trước khi quá trình bắt đầu, Bruno muốn phân phối một số chiếc bút vào các hộp sao cho mỗi hộp có ít nhất một chiếc bút và điều sau đây xảy ra: sau bất kỳ số bước nào cũng tồn tại hai hộp chứa số bút khác nhau. Hãy xác định xem điều này có thể thực hiện được hay không.
Cho tam giác $ABC$ vuông với $\hat{C} = 90^\circ$. Các điểm $D$ và $E$ trên cạnh huyền $AB$ sao cho $AD = AC$ và $BE = BC$. Các điểm $P$ và $Q$ lần lượt trên $AC$ và $BC$ sao cho $AP = AE$ và $BQ = BD$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $PQ$. Tìm $\hat{AM}\hat{B}$.
Mỗi ô của bảng $17 \times 17$ được điền một trong các số $1$, $2$, ..., $n$ với một $n \in \mathbb{N}$ nào đó; tất cả các số này đều được sử dụng. Nếu một hàng chứa hai ô $C_1$ và $C_2$ có cùng số $k$ và $C_1$ nằm bên trái $C_2$ thì trong cột của $C_1$ không có số $k$ nào nằm phía trên $C_1$. Xác định $n$ nhỏ nhất để tồn tại một bảng như vậy.
Alex và Bibi chơi trò chơi sau. Alex chọn một số tự nhiên $k$ không vượt quá $1000$. Sau đó Bibi chọn một bộ $B$ gồm $n$ số nguyên trong $\{0,1,...,1000\}$, không nhất thiết phân biệt, trong đó $n \gt k$. Bây giờ Alex được phép áp dụng lặp lại phép toán sau lên $B$: chọn $k$ số $b_1, ..., b_k$ từ $B$ và thay đổi chúng như sau. Với mỗi $i = 1, ..., k$, số $b_i$ được thay bằng $b_i + 1$ nếu $b_i \lt 1000$ và bằng $0$ nếu $b_i = 1000$.
Alex thắng nếu sau một số phép toán anh ta làm cho tất cả các số trong $B$ bằng $0$; nếu không làm được thì Bibi thắng. Tìm tất cả các giá trị $k$ đảm bảo Alex thắng, bất kể bộ $B$ mà Bibi chọn.
Điểm $D$ được chọn trên cạnh $BC$ của tam giác nhọn $ABC$ sao cho $AD = AC$. Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ $C$ và $D$ xuống $\overline{AB}$. Biết rằng
$$AP^2 + 3BP^2 = AQ^2 + 3BQ^2.$$ Tìm $\hat{A}BC$.
Cho $a_1, a_2, ..., a_{100}$ là một hoán vị của $1, 2, ..., 100$. Với mỗi bộ ba $\{a_i, a_{i+1}, a_{i+2}\}$ gồm các số liên tiếp, $1 \le i \le 98$, số ở giữa (theo giá trị) của bộ ba được đánh dấu. Chẳng hạn nếu $a_i = 7, a_{i+1} = 99, a_{i+2} = 22$ thì $a_{i+2} = 22$ được đánh dấu. Gọi $S$ là tổng của tất cả các số được đánh dấu. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S$. (Mỗi số được đánh dấu chỉ được cộng vào tổng $S$ đúng một lần, dù nó có thể được đánh dấu nhiều lần.)
Điểm $D$ được chọn trên cạnh $BC$ của tam giác nhọn $ABC$ sao cho $AD = AC$. Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ $C$ và $D$ xuống cạnh $AB$. Biết rằng
$$AP^2 + 3BP^2 = AQ^2 + 3BQ^2.$$ Tìm $\hat{A}BC$.
Cho $n \ge 3$ là một số nguyên. Tìm số cách sắp xếp $a_1, a_2, ..., a_n$ của $1, 2, ..., n$ quanh một đường tròn, theo chiều kim đồng hồ, sao cho $|a_1 - a_2| + |a_2 - a_3| + \dots + |a_{n-1} - a_n| + |a_n - a_1| = 2n - 2$.
Cho $n \ge 2$ là một số tự nhiên. Với mỗi cặp $a, b$ các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, gọi $d_{a,b}$ là ước chung lớn nhất của $na+b$ và $a+nb$. Tìm giá trị lớn nhất của $d_{a,b}$.
Một đường tròn có độ dài $999$ được chia thành các cung đơn vị bởi $999$ điểm đen. Sau đó $d$ cung có độ dài $1$, $2$, ..., $d$ được đặt lên đường tròn, với các đầu mút là điểm đen, sao cho không cung nào chứa cung nào khác (ngoài ra các cung có thể chồng lên nhau). Tìm tất cả các giá trị $d$ để tồn tại một cấu hình như vậy.
Hãy xác định xem có tồn tại hay không một cấp số cộng gồm $2016$ số tự nhiên không phải là lũy thừa hoàn hảo nhưng tích của chúng là một lũy thừa hoàn hảo.
(Lũy thừa hoàn hảo là số có dạng $n^k$ với $n$ và $k$ là các số tự nhiên, $n \ge 2$, $k \ge 2$.)
Với số nguyên $m \ge 3$ đặt $S(m) = 1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{m}$ (phân số $1/2$ không tham gia vào tổng). Cho $n \ge 3$ và $k \ge 3$. So sánh các số $S(nk)$ và $S(n) + S(k)$.
Agustin và Lucas lần lượt đánh dấu một ô tại mỗi lượt trong một lưới $101 \times 101$. Agustin đi trước. Một ô không thể được đánh dấu nếu trong hàng hoặc cột của nó đã có hai ô được đánh dấu. Người không thể đi nước nào sẽ thua. Hãy xác định người chơi nào có chiến lược thắng.
Cho $a$ và $b$ là các số hữu tỉ sao cho $a+b = a^2 + b^2$. Giả sử giá trị chung $s = a+b = a^2 + b^2$ không phải là số nguyên, và viết nó dưới dạng phân số tối giản: $s = \frac{m}{n}$. Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $p$.
Cho $AB$ là một đoạn thẳng có độ dài $1$. Một số hạt cơ bản đồng thời bắt đầu chuyển động với vận tốc không đổi từ $A$ đến $B$. Ngay khi một hạt đến $B$, nó quay đầu và đi về phía $A$; khi đến $A$, nó lại bắt đầu đi về phía $B$, và cứ tiếp tục như vậy mãi mãi.
Tìm tất cả các số hữu tỉ $r \gt 1$ có tính chất sau: Với mỗi $n \ge 1$, nếu $n+1$ hạt có vận tốc $1, r, r^2, \dots, r^n$ chuyển động như đã mô tả thì có một thời điểm mà tất cả các hạt cùng ở một điểm nằm bên trong đoạn $AB$. (Bỏ qua kích thước của các hạt; giả sử chúng có thể tụ lại tại một điểm.)
Ta nói một tam giác $ABC$ là *tuyệt vời* (great) nếu điều sau đây đúng: với mọi điểm $D$ trên cạnh $BC$, nếu $P$ và $Q$ lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ $D$ xuống các đường thẳng $AB$ và $AC$, thì điểm đối xứng của $D$ qua đường thẳng $PQ$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tuyệt vời khi và chỉ khi $\angle A = 90^{\circ}$ và $AB = AC$.