Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 1978

Các cạnh $AD$ và $BC$ của một tứ giác lồi $ABCD$ được mở rộng để gặp nhau tại $E$. Gọi $H$ và $G$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $AC$. Tìm tỉ số diện tích tam giác $EHG$ so với tam giác $ABCD$.

Xác định số thực lớn nhất $z$ sao cho $$
\begin{gathered}
x + y + z = 5 \\
x y + y z + x z = 3
\end{gathered}
$$ và $x$, $y$ cũng có thật.

Cho $n$ là một số nguyên. Nếu chữ số hàng chục của $n^2$ là $7$ thì chữ số đơn vị của $n^2$ là gì?

Vẽ đồ thị của $x^{3} + x y + y^{3} = 3$.

Tìm tất cả các cặp $a, b$ của số nguyên dương thỏa mãn phương trình $2 a^{2} = 3 b^{3}$.

Eve và Odette chơi một trò chơi trên bàn cờ $3 \times 3$, với cờ đen và cờ trắng. Các quy tắc như sau: I. Họ chơi luân phiên. II. Một lượt bao gồm việc đặt một người kiểm tra trên một hình vuông không có người sử dụng của bảng. iii. Đến lượt mình, người chơi có thể chọn cờ trắng hoặc cờ đen và không phải lúc nào cũng sử dụng cùng một màu. IV. Khi bảng đầy, Eve nhận được một điểm cho mỗi hàng, cột hoặc đường chéo có số lượng cờ đen chẵn, và Odette nhận được một điểm cho mỗi hàng, cột hoặc đường chéo có số điểm kiểm tra màu đen lẻ. v. Người chơi giành được ít nhất năm trong số tám điểm sẽ giành chiến thắng.
a. là một TIE $4$-$4$ có được không? Giải thích.
b. mô tả một chiến lược chiến thắng cho cô gái đầu tiên chơi.

Khu vực $n$-GON $A$ được ghi trong bán kính vòng tròn $R$. Chúng tôi lấy một điểm ở mỗi bên của đa giác để tạo thành một $n$-GON khác. Chứng minh rằng nó có chu vi ít nhất là $2A/R$.

Nếu $P$, $Q$ Các điểm trong không gian là điểm $[PQ]$ là điểm trên dòng $PQ$ ở phía đối diện của $Q$ đến $P$ Và cùng một khoảng cách từ $Q$.

$K_0$ là một tập hợp các điểm trong không gian. Được $K_n$ chúng tôi bắt nguồn $K_{n+1}$ bằng cách nối tất cả các điểm $[PQ]$ với $P$ và $Q$ ở trong $K_n$.

(1) $K_0$ chỉ chứa hai điểm $A$ và $B$, một khoảng cách $1$ ngoài ra, nhỏ nhất là gì $n$ mà $K_n$ chứa một điểm có khoảng cách từ $A$ ít nhất là $1000$?

(2) $K_0$ Bao gồm ba điểm, mỗi cặp một khoảng cách $1$ Ngoài ra, hãy tìm diện tích của đa giác lồi nhỏ nhất chứa $K_n$.

(3) $K_0$ gồm bốn điểm, tạo thành một tứ diện đều với thể tích $1$. Cho $H_n$ là khối đa diện lồi nhỏ nhất chứa $K_n$. Có bao nhiêu khuôn mặt $H_1$ có? khối lượng của $H_n$?

Cho $a_n$ là số nguyên gần nhất với $\sqrt{n}$. Tìm $$
\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_{1980}}.
$$

Chứng minh rằng có một chuỗi thực vô hạn $x_1$, $x_2$, $x_3$, ... sao cho $|x_n|$ bị giới hạn và cho bất kỳ $m \gt n$, chúng tôi có $|x_m - x_n| \gt 1 / (m - n)$.

Chỉ ra rằng đối với một số $k$, bạn có thể tìm thấy $1978$ các kích thước hình vuông khác nhau với tất cả các đỉnh của nó trên đồ thị của hàm $y = k \sin x$.

$a_1, a_2, \ldots, a_n$ là số thực. Để $b_k = (a_1 + a_2 + \ldots + a_k)/k$ cho $k = 1, 2, \ldots, n$. Cho $$
C = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + \ldots + (a_n - b_n)^2,
$$ và $$
D = (a_1 - b_n)^2 + (a_2 - b_n)^2 + \ldots + (a_n - b_n)^2.
$$ chỉ ra rằng $C \leq D \leq 2C$.

Cho $x_n = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^{n}$. Chúng tôi có thể viết $x_n = a_n + b_n \sqrt{2} + c_n \sqrt{3} + d_n \sqrt{6}$, trong đó $a_n, b_n, c_n, d_n$ là số nguyên. Tìm giới hạn vì $n$ có xu hướng vô cực của $b_n / a_n$, $c_n / a_n$, $d_n / a_n$.

Cho một tập hợp các đoạn không giao nhau của $n$ trong mặt phẳng. Không có hai đoạn nằm trên cùng một dòng. Chúng ta có thể liên tiếp thêm các phân đoạn bổ sung $n-1$ để chúng ta kết thúc với một đường dẫn không giao nhau không? Mỗi phân đoạn chúng tôi thêm phải có làm điểm cuối của nó hai điểm cuối phân đoạn hiện có.

Bộ $\{S_0\}$ có thành viên đơn $(5, 19)$. Chúng tôi lấy tập hợp $\{S_{n + 1}\}$ từ $\{S_n\}$ bằng cách nối một cặp với $\{S_n\}$. Nếu $\{S_n\}$ chứa cặp $(2a, 2b)$, thì chúng tôi có thể tiếp giáp cặp $(a, b)$. Nếu $\{S\}$ chứa cặp $(a, b)$, chúng tôi có thể tiếp giáp với $(a+1, b+1)$. Nếu $\{S\}$ chứa $(a, b)$ và $(b, c)$, thì chúng tôi có thể tiếp giáp với $(a, c)$. chúng ta có thể lấy $(1, 50)$ không? $(1, 100)$? Nếu chúng ta bắt đầu với $(a, b)$, với $a \lt b$, thay vì $(5, 19)$, $n$ chúng ta có thể lấy $(1, n)$ không?

Chứng minh rằng không có số nguyên dương $n$ mà $1000^{n} - 1$ chia $1978^{n} - 1$.

Cho $p(x) = x^2 + x + 1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, các số $n$, $p(n)$, $p(p(n))$, $p(p(p(n)))$, ... nguyên tố cùng nhau.

Hai người chơi chơi một trò chơi bằng cách di chuyển một quân cờ trên bàn cờ $n \times n$. Mảnh ban đầu nằm trong một góc vuông. Mỗi người chơi có thể di chuyển quân cờ đến bất kỳ hình vuông liền kề nào (cùng một cạnh với hình vuông hiện tại của nó), ngoại trừ việc mảnh ghép không bao giờ được chiếm cùng một hình vuông hai lần. Người chơi đầu tiên không thể di chuyển thua. Cho thấy rằng đối với $n$, người chơi đầu tiên luôn có thể giành chiến thắng, và đối với $n$ lẻ, người chơi thứ hai luôn có thể giành chiến thắng. Ai thắng nếu mảnh ban đầu nằm trên một hình vuông liền kề với góc?

$ABCD$ là tứ giác. $M$ là một điểm bên trong nó sao cho $ABMD$ là một hình bình hành. $\angle CBM = \angle CDM$. Chứng minh rằng $\angle ACD = \angle BCM$.

Hai người chơi chơi một trò chơi. Có một đống quân $m$ và một đống quân $n \lt m$. Mỗi người chơi lần lượt lấy một hoặc nhiều quân từ đống lớn hơn. Con số anh ta lấy phải là bội số của số trong đống nhỏ hơn. Ví dụ, nếu các đống là $15$ và $4$, người chơi đầu tiên có thể lấy $4$, $8$ hoặc $12$ từ lớn hơn đống. Người chơi đầu tiên xóa một đống chiến thắng. Chứng minh rằng nếu $m \gt 2n$, thì người chơi đầu tiên luôn có thể giành chiến thắng. Tìm tất cả $k$ sao cho nếu $m \gt k n$, thì người chơi đầu tiên luôn có thể giành chiến thắng.