Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 2012

Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số thực dương. Chứng minh rằng
$$P(1)P(xy)\ge P(x)P(y)$$
với mọi $x\ge1,y\ge1$.

Hai hàng vô hạn gồm các điểm cách đều được đặt thẳng hàng như hình dưới. Từ mỗi điểm ở hàng trên có một mũi tên chỉ đến một điểm ở hàng dưới sao cho:
- Không có hai mũi tên cùng chỉ đến một điểm.
- Không mũi tên nào lệch sang phải hoặc trái quá $1006$ vị trí.
Chứng minh rằng nhiều nhất có $2012$ điểm ở hàng dưới không được mũi tên nào chỉ đến.

Có $N$ cậu bé ($N\ge3$), không có hai người cùng chiều cao, đứng thành một vòng tròn. Một cậu bé được gọi là cao nếu cao hơn cả hai người hàng xóm, và được gọi là thấp nếu thấp hơn cả hai người hàng xóm.
Chứng minh trong mọi cách sắp xếp, số cậu bé cao bằng số cậu bé thấp.

Bản dịch phát biểu gốc tiếng Anh:
Một số rô-bốt được đặt vào các ô vuông của một lưới hình chữ nhật hữu hạn. Mỗi ô có thể chứa bất kỳ số rô-bốt nào. Mỗi cạnh của lưới được phân loại là đi qua được hoặc không đi qua được. Tất cả các cạnh trên biên lưới đều không đi qua được.
Bạn có thể ra bất kỳ lệnh nào trong bốn lệnh lên, xuống, trái, phải. Tất cả rô-bốt đồng thời thử di chuyển theo hướng được chỉ định. Nếu cạnh kề với rô-bốt theo hướng đó đi qua được thì rô-bốt đi qua cạnh sang ô tiếp theo. Nếu không, rô-bốt đứng nguyên ở ô hiện tại. Bạn lại có thể ra lệnh lên, xuống, trái hoặc phải, rồi tiếp tục như vậy tùy ý.
Giả sử với mỗi rô-bốt riêng lẻ và mỗi ô của lưới, tồn tại một dãy lệnh hữu hạn đưa rô-bốt đó đến ô ấy. Chứng minh cũng có một dãy lệnh hữu hạn khiến tất cả rô-bốt cùng ở một ô vào cùng thời điểm.

Bản dịch phát biểu song song tiếng Pháp:
Một số rô-bốt được đặt vào các ô vuông của một lưới hình chữ nhật hữu hạn. Mỗi ô có thể chứa bất kỳ số rô-bốt nào. Mỗi cạnh của lưới được phân loại là đi qua được hoặc không đi qua được. Tất cả các cạnh trên biên lưới đều không đi qua được.
Bạn có thể ra bất kỳ lệnh nào trong bốn lệnh lên, xuống, trái, phải. Tất cả rô-bốt đồng thời thử di chuyển theo hướng được chỉ định. Nếu cạnh kề với rô-bốt theo hướng đó đi qua được thì rô-bốt đi qua cạnh sang ô tiếp theo. Nếu không, rô-bốt đứng nguyên ở ô hiện tại. Bạn lại có thể ra lệnh lên, xuống, trái hoặc phải, rồi tiếp tục như vậy tùy ý.
Giả sử với mỗi rô-bốt riêng lẻ và mỗi ô của lưới, tồn tại một dãy lệnh hữu hạn đưa rô-bốt đó đến ô ấy. Chứng minh cũng có một dãy lệnh hữu hạn khiến tất cả rô-bốt cùng ở một ô vào cùng thời điểm.

Đánh dấu mười điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Nối mọi cặp điểm bằng đoạn thẳng. Mỗi đoạn được tô một trong $k$ màu.
Với những số nguyên dương $k$ nào ($1\le k\le5$), có thể tô sao cho với bất kỳ $k$ điểm nào trong mười điểm, tồn tại $k$ đoạn nối các điểm ấy, được tô bằng $k$ màu khác nhau?

Tìm tất cả các bộ bốn số thực dương $(a,b,c,d)$ thỏa mãn $abcd=1$,
$$a^{2012}+2012b=2012c+d^{2012},$$
$$2012a+b^{2012}=c^{2012}+2012d.$$

Laura thắng kỳ thi olympic toán địa phương và được tặng một chiếc thước “thần kỳ”. Với thước này, cô có thể kẻ các đường thẳng trong mặt phẳng như bình thường, đồng thời đo độ dài các đoạn thẳng và dựng lại chúng ở bất kỳ vị trí nào trong mặt phẳng. Cô cũng có thể chia một đoạn thẳng thành bao nhiêu phần bằng nhau tùy ý; chẳng hạn, cô có thể chia bất kỳ đoạn nào thành 17 phần bằng nhau. Laura vẽ hình bình hành $ABCD$ và quyết định thử chiếc thước thần kỳ. Cô dùng thước tìm trung điểm $M$ của cạnh $CD$, rồi kéo dài cạnh $CB$ qua $B$ đến điểm $N$ sao cho hai đoạn $CB$ và $BN$ bằng nhau. Không may, cậu em trai nghịch ngợm đến và xóa mọi thứ trong hình, chỉ để lại ba điểm $A,M,N$. Hãy dùng chiếc thước thần kỳ giúp Laura dựng lại hình bình hành ban đầu $ABCD$: nêu các bước cô cần thực hiện và chứng minh rằng những bước ấy dựng lại đúng hình bình hành ban đầu $ABCD$.

Cho $ABCD$ là hình vuông trong mặt phẳng $P$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm $f:P\to\mathbb R$ được xác định bởi
$$f(P)=\frac{PA+PB}{PC+PD},$$
trong đó $\mathbb R$ là tập mọi số thực.

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh $x^2+xy^2+xyz^2\ge4xyz-4$.

Bản dịch phát biểu gốc tiếng Anh:
Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh $x^2+xy^2+xyz^2\ge4xyz-4$.

Bản dịch phát biểu song song tiếng Pháp:
Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh $x^2+xy^2+xyz^2\ge4xyz-4$.

Tìm số lớn nhất $m$ sao cho bất đẳng thức
$$
(a^2+4(b^2+c^2))(b^2+4(c^2+a^2))(c^2+4(a^2+b^2))\ge m
$$
đúng với mọi số thực $a,b,c$ khác $0$ thỏa mãn
$$\left|\frac1a\right|+\left|\frac1b\right|+\left|\frac1c\right|\le3.$$

Điểm $M$ nằm trong tứ giác lồi $ABCD$ sao cho tỉ số diện tích hai tam giác $AMC$ và $BMD$ bằng tỉ số các tang của hai góc $AMC$ và $BMD$, tức là $S(AMC):S(BMD)=\tan\angle AMC:\tan\angle BMD$.
Chứng minh $AM^2+MC^2+BD^2=AC^2+BM^2+MD^2$ nếu $M$ không nằm trên bất kỳ đường chéo nào của tứ giác.

Độ dài ba cạnh nào đó của một tứ giác bằng $2$, $7$ và $11$.
Tìm diện tích tứ giác nếu nó có diện tích lớn nhất trong tất cả các tứ giác có ba độ dài cạnh đã nêu.

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle AIB$ cắt các đường thẳng $CA,CB$ lần nữa tại $P$ (khác $A$) và $Q$ (khác $B$), tương ứng. Chứng minh $A,B,P,Q$, theo một thứ tự nào đó, là các đỉnh của một hình thang.

Xác định tất cả các hàm số $f$ từ tập số nguyên vào tập số nguyên có tính chất sau: Với hai số nguyên $m,n$ bất kỳ (không nhất thiết khác nhau), $\gcd(m,n)$ là ước của $f(m)+f(n)$. (Lưu ý rằng $\gcd(m,n)=\gcd(|m|,|n|)$ và $\gcd(m,0)=|m|$ với mọi số nguyên $m,n$.)

Hai điểm phân biệt $A,B$ được đánh dấu trên nửa bên trái của parabol $y=x^2$. Xét một cặp đường thẳng song song bất kỳ đi qua $A,B$ và cắt nửa bên phải của parabol tại $C,D$. Gọi $K$ là giao điểm hai đường chéo $AC,BD$ của hình thang $ABCD$ thu được. Gọi $M,N$ là trung điểm hai đáy của $ABCD$.
Chứng minh hiệu $KM-KN$ chỉ phụ thuộc vào lựa chọn $A,B$, không phụ thuộc vào cặp đường thẳng song song nói trên.
(I. Voronovich)

Cố định số nguyên dương $n$. Hai người chơi Phil và Ellie chơi trò sau. Trước hết, Phil điền vào các ô của bàn cờ $n\times n$ những số nguyên không âm nhỏ hơn $n$. Sau đó Ellie chọn ba ô tạo thành hình chữ L, như một trong các hình sau:

Ellie cộng $1$ vào mỗi ô trong ba ô hình chữ L, nhưng nếu một ô xuất hiện số $n$ thì số đó lập tức được thay bởi $0$. Ellie thắng nếu sau hữu hạn lần thay đổi các hình chữ L theo cách ấy, cô có thể biến tất cả các số trên bàn cờ thành $0$; nếu không thì Phil thắng.
Người chơi nào có chiến lược thắng khi

a. $n=12$?

b. $n=2012$?

Tìm tất cả các bộ ba $(x;n;p)$ với $x,n$ là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố sao cho
$$x^3+3x+14=2\cdot p^n.$$

Xác định giá trị lớn nhất của $n$ thỏa mãn điều kiện sau: với mọi cách chọn $n$ tập con $M_1,\ldots,M_n$ của tập $M=\{1,2,\ldots,n\}$ sao cho

i) $i\in M_i$; và

ii) $i\in M_j\Longleftrightarrow j\notin M_i$ với mọi $i\ne j$,

luôn tồn tại $M_k,M_l$ sao cho $M_k\cup M_l=M$.

Xác định số nghiệm thực phân biệt lớn nhất có thể của đa thức $P(x)$ bậc $2012$ với hệ số thực thỏa mãn
$$P(a)^3+P(b)^3+P(c)^3\ge3P(a)P(b)P(c)$$
với mọi số thực $a,b,c$ có $a+b+c=0$.