Cho các đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ với hai điểm giao nhau $A$ và $B$. $X$ trên $\omega_1$ và $Y$ trên $\omega_2$ được chọn sao cho $XY$ là tiếp tuyến với cả đường tròn và $XY$ gần với $B$ hơn $A$. Nếu $C$ và $D$ là phản ánh của $X$ và $Y$ đối với $B$, hãy chứng minh rằng $\angle CAD \lt 90^\circ$.
Hãy xem xét một tam giác scallene cấp tính $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$. Đường phân giác góc ngoài của $\angle BAC$ gặp $BC$ tại $X$. Các dòng $\ell_b$ và $\ell_c$ là các dòng tiếp tuyến từ $B$ và $C$ đến $\Gamma$. Một đường đi qua $X$ và giao nhau $\ell_b$ và $\ell_c$ tại các điểm $Y$ và $Z$, sao cho $X, Y$ và $Z$ nằm trên thứ tự này. Giả sử rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AYB$ và $AZC$ cắt nhau tại $N$, lần thứ hai. Nếu $D$ là điểm giao nhau của $\ell_b$ và $\ell_c$ thì chứng tỏ $ND$ là phân giác góc của $\angle YNZ$.
Cho $ABCD$ là một hình thoi và hãy để $\omega$ là trong đường tròn của nó. Cho $M$ là điểm giữa của $AB$ và $K$ là một điểm bên trong $ABCD$ như vậy mà $MK$ là tiếp tuyến với $\omega$. Chứng minh rằng $CDKM$ là chu kỳ.
Xác định $n \geq 3$ có thể tìm các số nguyên dương $n$ sao cho hai bởi hai có ít nhất một yếu tố chung khác với 1, nhưng ba đến ba số đầu tiên nằm giữa chúng. Nếu cộng điều kiện là tất cả các số nguyên đều nhỏ hơn 5000 thì giá trị lớn nhất của $n$ là bao nhiêu?
Hai thuật sĩ thực hiện trong vấn đề sau. Lúc đầu, thuật sĩ đầu tiên khóa trình hướng dẫn thứ hai trong một cabin mà anh ta không thể nhìn thấy cũng như không nghe thấy gì. Để bắt đầu trò chơi, Wizard đầu tiên mời Daniel, một thành viên của công chúng, đặt một con tốt trắng hoặc đen trên mỗi hộp của bàn cờ $n \times n$. Sau đó, anh ta yêu cầu Daniele chỉ ra một chiếc hộp $C$ mà anh ta lựa chọn. Tại thời điểm này, trình hướng dẫn đầu tiên chọn một hộp $D$ (không nhất thiết phải khác với $C$) và thay thế quân được tìm thấy trên $D$ bằng một trong các màu khác (trắng với màu đen hoặc đen với trắng). Sau đó, cabin mà trình hướng dẫn thứ hai được mở sau đó được mở ra. Quan sát bàn cờ, thuật sĩ thứ hai quản lý để đoán được hộp $C$ là gì. $n$ có thể thực hiện một chiến lược mà số lượng của họ luôn thành công không?
Cho $N$ là số lượng được đặt hàng sáu bộ số nguyên $(a, b, c, d, e, f)$ như $a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+e^{3}+f^{3}=168$ và $-202120212021^{9}\lt a b c d e f\lt 202120212021^{9}$, trong đó $abcdef$ là Tích của bạn là toàn bộ. Phần còn lại của $N$ trong phân chia 6 là gì sau đây?
hoặc $h$ một số nguyên dương và một trong hai $a_{n}$ Trình tự được xác định bởi sự lặp lại như sau:
$$
\begin{aligned}
a_{0} & =1 \\
a_{n+1} & = \begin{cases}\frac{a_{n}}{2} & \text{ nếu } a_{n} \text{ là chẵn } \\
a_{n}+h & \text{ nếu } a_{n} \text{ Thật kỳ quặc.}\end{cases}
\end{aligned}
$$
(Ví dụ, nếu $h=27$ Bạn có: $a_{1}=28, a_{2}=14, a_{3}=7, a_{4}=34, a_{5}=17, a_{6}=44, \ldots$) cho những giá trị nào của $h$ tồn tại $n\gt 0$ Vì thế $a_{n}=1$ ?
Cho $ABCD$ là tứ giác lồi sao cho $\widehat{CAB} = \widehat{CDA}$ và $\widehat{BCA} = \widehat{ACD}$. $M$ cho biết trung điểm của $AB$ chứng minh rằng $\widehat{BCM} = \widehat{DBA}$.
Xác định tất cả các cặp số nguyên dương $\{a, b\}$ có thuộc tính sau: Tuy nhiên màu số nguyên dương với hai màu $A$ và $B$ thì luôn có hai số nguyên dương màu luôn là số nguyên dương $A$ với sự khác biệt $a$ hoặc hai số nguyên dương của $B$ với sự khác biệt $b$.
Trong mỗi hộp của một bảng vuông $4 \times 4$ con số được viết $1$ hoặc con số $2$. Được biết, tổng của $9$ Các số liệu có trong mỗi $4$ hình vuông $3 \times 3$ chứa trong bảng là nhiều $4$, trong khi tổng của tất cả $16$ Các chữ số không phải là bội số của $4$. Xác định giá trị lớn nhất và tối thiểu có thể cho tổng $16$ số liệu.
Gọi $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots$ là một dãy số hữu tỉ được xác định bởi sự lặp lại như sau: $x_{0}$ là bất kỳ số hữu tỉ nào, và đối với $n \geq 0$, $$
x_{n+1}= \begin{cases}\left|\frac{x_{n}}{2}-1\right| & \text { se il numeratore di } x_{n} \text { è pari }, \\ \left|\frac{1}{x_{n}}-1\right| & \text { se il numeratore di } x_{n} \text { è dispari },\end{cases}
$$ trong đó tử số của Một số hữu tỉ có nghĩa là phân số giảm xuống mức tối thiểu. Chứng minh rằng với mỗi giá trị của $x_{0}$:
(a) , dãy chỉ chứa một số hữu hạn số hạng phân biệt;
(b) Trình tự chứa chính xác một trong các số 0 và $2 / 3$ (tức là có một chỉ mục $k$ sao cho $x_{k}=0$, hoặc có một chỉ mục $m$ sao cho $x_{m}=2 / 3$, nhưng chúng không tồn tại cả hai).
Cho tam giác cân $ABC$ có $AB = AC$ và $\widehat{BAC} \lt 60^\circ$. Gọi $D$ là điểm trên $AC$ sao cho $\widehat{DBC} = \widehat{BAC}$. Gọi $E$ là giao điểm của đường trung trực của $BD$ với đường thẳng qua $A$ song song với $BC$. Điểm $F$ nằm trên đường thẳng $AC$, cùng phía với $A$ đối với $C$, và $FA$ dài gấp đôi $AC$. Cuối cùng, gọi $r$ là đường thẳng qua $F$ vuông góc với $AB$, $s$ là đường thẳng qua $E$ vuông góc với $AC$, và $t$ là đường thẳng $BD$. Chứng minh:
(a) hai đường thẳng $EB$ và $AC$ song song;
(b) ba đường thẳng $r$, $s$ và $t$ đồng quy.
Cho $n$ là một số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2. Có những người $n$ trong một tệp duy nhất, mỗi người trong số đó là một nhân vật phản diện (và luôn luôn nói dối) hoặc một hiệp sĩ (và luôn nói sự thật). Mỗi người, ngoại trừ người đầu tiên, chỉ ra một trong những người trước mặt cô và tuyên bố "người này là một nhân vật phản diện" hoặc "người này là một hiệp sĩ". Biết rằng có nhiều nhân vật phản diện hơn các hiệp sĩ, hãy chứng minh rằng bằng cách tham dự các tuyên bố, có thể xác định cho mỗi người dù đó là một nhân vật phản diện hay một hiệp sĩ.
Một chiếc máy bí ẩn chứa một sự kết hợp bí mật bao gồm 2016 số nguyên $x_{1}, \ldots, x_{2016}$. Chúng ta biết rằng tất cả các số kết hợp đều bằng nhau ngoại trừ một. Có thể truy vấn máy bằng cách đặt nó một chuỗi 2016 số nguyên $y_{1}, \ldots, y_{2016}$. Máy trả lời bằng cách tiết lộ giá trị của tổng $$
x_{1} y_{1}+\cdots+x_{2016} y_{2016} \text{.}
$$ Sau khi trả lời câu hỏi đầu tiên, máy chấp nhận câu hỏi thứ hai, sau đó là câu hỏi thứ ba, v.v. Cần bao nhiêu câu hỏi để xác định tổ hợp:
(a) biết rằng số khác nhau bằng 0?
(b) không biết số nào khác nhau?
Hai đường tròn $\gamma_{1}$ và $\gamma_{2}$ của $A$ và $B$ được đưa ra trong mặt phẳng, và giao nhau ở hai điểm $C$ và $D$. Giả sử rằng chu vi thông qua cho $A$, $B$ và $C$ giao nhau thêm $\gamma_{1}$ và $\gamma_{2}$ trong $E$ và $F$ tương ứng và ARC $E F$ không chứa $C$ nằm ngoài hai đường tròn được phân tách bởi $\gamma_{1}$ và $\gamma_{2}$. Chứng minh rằng cung $E F$ không chứa $C$ được chia đôi bởi dòng $C D$.
Cho $ABC$ là một tam giác vuông, với cạnh huyền $AC$ và để $H$ chân chiều cao do $B$ tiến hành $AC$. Biết rằng độ dài $AB$, $BC$ và $BH$ tạo thành các cạnh của một tam giác vuông mới, xác định các giá trị có thể có của $\frac{AH}{CH}$.