Cho một tam giác $ABC$ và một điểm $P_0$ bên cạnh $AB$. Điểm xây dựng $P_i$, $Q_i$, $R_i$ như sau: $Q_i$ là chân của đường vuông từ $P_i$ đến $BC$, $R_i$ là chân vuông góc từ $Q_i$ đến $AC$ và $P_i$ là chân của vuông góc từ $R_{i-1}$ đến $AB$. Chứng minh rằng các điểm $P_i$ hội tụ đến một điểm $P$ trên $AB$ và chỉ ra cách xây dựng $P$.
Chứng minh rằng đối với bất kỳ số nguyên dương nào $n \gt 2$, chúng ta có thể tìm thấy $n$ các số nguyên dương riêng biệt sao cho tổng của các đối ứng của chúng là $1$.
Hộp $A$ chứa bóng đen và hộp $B$ chứa bóng trắng. Lấy một số bóng nhất định từ $A$ và đặt chúng vào $B$. Sau đó lấy cùng số quả bóng từ $B$ và đặt chúng vào $A$. Số bóng trắng trong $A$ thì lớn hơn, bằng hoặc nhỏ hơn số quả bóng đen trong $B$?
Một học sinh đánh bạc tung một đồng xu công bằng và ghi được một điểm cho mỗi đầu xuất hiện và hai điểm cho mỗi đuôi. Chứng minh rằng xác suất học sinh ghi chính xác điểm $n$ là $$
\frac{1}{3}\left[2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right].
$$
Các số từ $1$ đến $50$ được in trên thẻ. Các thẻ được xáo trộn và sau đó được đặt lên trong $5$ mỗi thẻ $10$ mỗi thẻ. Các thẻ trong mỗi hàng được sắp xếp lại để làm cho chúng tăng từ trái sang phải. Các thẻ trong mỗi cột sau đó được sắp xếp lại để làm cho chúng tăng từ trên xuống dưới. Trong cách sắp xếp cuối cùng, các thẻ trong các hàng có còn tăng từ trái sang phải không?
Một song song có thuộc tính là tất cả các mặt cắt song song với bất kỳ mặt cố định nào $F$, có cùng chu vi với $F$. Xác định xem có bất kỳ khối đa diện nào khác có đặc tính này hay không.
Trong số tất cả các tam giác có (i) một góc cố định $A$ và (ii) một đường tròn nội tiếp của bán kính cố định $r$, hãy xác định tam giác nào có chu vi nhỏ nhất.
Một số hình vuông đơn vị trong một tờ giấy bình phương vô hạn có màu đỏ để mọi hình chữ nhật $2 \times 3$ và $3 \times 2$ chứa chính xác hai hình vuông màu đỏ. Có bao nhiêu hình vuông màu đỏ trong một hình chữ nhật $9 \times 11$?
Một số sáu chữ số (thập phân) có sáu chữ số khác nhau, không có chữ số nào trong số đó là $0$ và được chia hết cho $37$. Chứng minh rằng bạn có thể nhận được ít nhất $23$ các số khác chia hết cho $37$ bằng cách hoán vị các chữ số.
Có một dịch cúm ở thành phố Elf. Diễn biến của bệnh bao giờ cũng giống nhau. Một Elf bị nhiễm bệnh vào một ngày, anh ta bị ốm vào ngày hôm sau, hồi phục và miễn dịch thứ ba, hồi phục nhưng không miễn dịch sau đó. Mỗi ngày, mỗi gia tinh không bị bệnh đến thăm tất cả những người bạn bị bệnh của mình. Nếu anh ta không được miễn dịch, anh ta chắc chắn sẽ bị cúm nếu anh ta đến thăm một yêu tinh bị bệnh. Vào ngày đầu tiên, không ai được miễn dịch và một hoặc nhiều yêu tinh bị nhiễm từ một số nguồn bên ngoài. Sau đó không có thêm nhiễm trùng bên ngoài và dịch bệnh lây lan như mô tả ở trên. cho thấy rằng nó chắc chắn sẽ chết (không phân biệt số lượng yêu tinh, số lượng bạn bè mỗi người, và số lượng bị nhiễm vào ngày 1). cho thấy nếu một hoặc nhiều yêu tinh được miễn dịch vào ngày 1, thì dịch bệnh có thể tiếp tục vô thời hạn.
35 thùng chứa tổng trọng lượng 18 phải được đưa đến một trạm vũ trụ. Một chuyến bay có thể lấy bất kỳ bộ sưu tập container nào có trọng lượng 3 hoặc ít hơn. Có thể lấy bất kỳ tập hợp con nào của 34 container trong 7 chuyến bay. Chứng tỏ phải lấy hết 35 container trong 7 chuyến bay.
$S$ là một tập hợp các số nguyên. Phần tử nhỏ nhất của nó là $1$ và phần tử lớn nhất của nó là $100$. Mọi phần tử của $S$ ngoại trừ $1$ là tổng của hai thành viên riêng biệt của tập hợp hoặc nhân đôi một thành viên của tập hợp. Số nguyên có thể nhỏ nhất trong $S$ là bao nhiêu?
Cho vectơ $1980$ trong mặt phẳng. Tổng của mỗi vectơ $1979$ là bội số của vectơ khác. Không phải tất cả các vectơ đều là bội số của nhau. Chứng minh rằng tổng của tất cả các vectơ bằng không.