MathNet 2024 — lô 27 câu

Tính tổng tất cả các số nguyên $n$ sao cho $n^{2}-3000$ là một số chính phương.

Hãy xác định và chứng minh liệu có tồn tại các số nguyên dương $x$ và $y$ sao cho $x+y$, $x^{2}+y^{2}$ và $x^{3}+y^{3}$ đều là số chính phương hay không.

Albert viết ra tất cả các bội của $9$ từ $9$ đến $999$, kể cả hai đầu mút. Tính tổng các chữ số mà bạn ấy đã viết.

Số $17^{6}$ khi viết trong hệ thập phân có 8 chữ số khác nhau thuộc $1,2, \ldots, 9$, không có chữ số lặp lại và không có chữ số 0. Tìm chữ số khác 0 còn thiếu.

Cho $r$, $s$ và $t$ là các số thực khác 0 sao cho đa thức $x^{2} + r x + s$ có các nghiệm $s$ và $t$, còn đa thức $x^{2} + t x + r$ có nghiệm $5$. Tính $s$.

Một hình tròn có diện tích $1$ được chia bởi hai dây cung phân biệt. Tìm diện tích lớn nhất có thể của phần nhỏ nhất thu được.

Tìm số nguyên nhỏ nhất $n \gt 72$ có cùng tập hợp các ước nguyên tố với $72$.

Jerry và Neil có một con xúc xắc ba mặt cho các số $1$, $2$ và $3$, mỗi số có xác suất $\frac{1}{3}$. Jerry gieo trước, sau đó Neil gieo liên tiếp cho đến khi số nhận được không nhỏ hơn số của Jerry. Tính xác suất số cuối cùng của Neil là $3$.

Sáu số nguyên dương liên tiếp được viết lên sáu mảnh giấy. Các mảnh giấy được chia cho Ethan, Jacob và Karthik, mỗi người nhận hai mảnh. Tích hai số của Ethan bằng $20$, còn tích hai số của Jacob bằng $24$. Tính tích hai số của Karthik.

Tính số lượng các số nguyên dương chẵn $n \leq 2024$ sao cho có thể chia $1,2, \ldots, n$ thành $\frac{n}{2}$ cặp, trong đó tổng hai số của mỗi cặp là bội của $3$.

Tính tổng tất cả các số nguyên dương có hai chữ số $x$ sao cho với mọi số nguyên dương ba chữ số trong hệ thập phân $\underline{a}\ \underline{b}\ \underline{c}$, nếu $\underline{a}\ \underline{b}\ \underline{c}$ là bội của $x$ thì số ba chữ số $\underline{b}\ \underline{c}\ \underline{a}$ cũng là bội của $x$.

Dựng các tam giác đều $ABF$ và $BCG$ bên ngoài ngũ giác đều $ABCDE$. Tính $\angle FEG$.

Cho $f(x)$ là thương của hai đa thức bậc hai. Biết $f(n) = n^{3}$ với mọi $n \in \{1,2,3,4,5\}$, tính $f(0)$.

Tính
$$
\sum_{i=1}^{4} \sum_{t=1}^{4} \sum_{e=1}^{4}\left\lfloor\frac{i t e}{5}\right\rfloor
$$

Giả sử với một số nguyên dương $n$, hai số $2^n$ và $5^n$ có cùng chữ số đầu tiên. Chữ số đầu tiên đó có thể nhận những giá trị nào?

Cho $a$, $b$ và $c$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn $a^{b} b^{c} = a^{c}$. Với mọi bộ giá trị có thể của $a$, $b$ và $c$, tìm giá trị nhỏ nhất của $a + b + c$.

Cho số nguyên tố $p$ và các số nguyên $x, y, z$ thỏa mãn $0 \lt x \lt y \lt z \lt p$. Nếu $x^3, y^3, z^3$ có cùng số dư khi chia cho $p$, hãy chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2$ chia hết cho $x + y + z$.

Cho các số thực $a$, $b$ và $c$ thỏa mãn
$$
\begin{aligned}
a + b + c &= 100 \\
ab + bc + ca &= 20, \text{ và } \\
(a + b)(a + c) &= 24
\end{aligned}
$$
Tìm tất cả các giá trị có thể của $bc$.

Hình chữ nhật $R$ có diện tích $20$ và đường chéo dài $7$, được tịnh tiến $2$ đơn vị theo một hướng để tạo thành hình chữ nhật mới $R'$. Những đỉnh của $R$ và $R'$ không nằm trong hình chữ nhật còn lại tạo thành một lục giác lồi. Tìm diện tích lớn nhất có thể của lục giác này.

Vẽ các đường thẳng
$$
y = x + 2, \quad y = 3x + 4, \quad y = 5x + 6, \quad y = 7x + 8, \quad y = 9x + 10, \quad y = 11x + 12
$$
Sáu đường thẳng này chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền?