Hàng dưới của một hình chữ nhật $2 \times 13$ được xếp đầy 13 quân cờ đánh số $1, 2, \ldots, 13$ theo thứ tự đó. Một thao tác là chuyển một quân cờ từ ô của nó sang một ô trống kề cạnh. Nhiệm vụ là sắp xếp lại các quân cờ theo thứ tự ngược lại, vẫn ở hàng dưới. Hãy thực hiện việc đó với số thao tác ít nhất.
Các điểm $D$ và $E$ chia cạnh $AB$ của tam giác đều $ABC$ thành ba phần bằng nhau; $D$ nằm giữa $A$ và $E$. Điểm $F$ trên cạnh $BC$ sao cho $CF = AD$. Tìm tổng các góc
$$
C\hat{D}F + C\hat{E}F.
$$
Tại mỗi đỉnh của một hình lăng trụ đều $n$ cạnh người ta viết số $+1$ hoặc $-1$ sao cho tích các số trên mỗi mặt bằng $-1$. Với những giá trị $n \geq 3$ nào thì điều này thực hiện được?
Ta nói một số tự nhiên thuộc loại 1 (tương ứng loại 2) nếu mỗi chữ số của nó ở vị trí chẵn (tương ứng lẻ) lớn hơn hoặc bằng mỗi chữ số kề với nó. Các vị trí được đếm từ trái sang phải; không cho phép có chữ số 0 ở đầu (chữ số đầu tiên được coi là khác 0). Các số có một chữ số được coi là vừa thuộc loại 1 vừa thuộc loại 2. Hãy xác định xem các khẳng định sau có đúng không:
a) Mỗi số $a \gt 1$ thuộc loại 1 đều có thể biểu diễn dưới dạng $a = b + c$ với $b$, $c$ là các số thuộc loại 2.
b) Mỗi số $a \gt 1$ thuộc loại 2 đều có thể biểu diễn dưới dạng $a = b + c$ với $b$, $c$ là các số thuộc loại 1.
Felipe nói với Roberto rằng anh đã đặt được 1226 miếng trimino $1\times 3$ lên một hình vuông lưới $Q$ nào đó sao cho chúng không có điểm chung, kể cả đỉnh. Không biết kích thước của $Q$, Roberto trả lời: "Nếu điều bạn nói là đúng thì có thể đặt 1250 miếng trimino $1\times 3$ lên hình vuông của bạn, với cùng các điều kiện." Roberto có đúng không?
Hình chữ nhật $ABCD$ có các cạnh $AB = 3$, $BC = 2$. Điểm $P$ trên cạnh $AB$ sao cho tia phân giác của góc $C\hat{D}P$ đi qua trung điểm của $BC$. Tính $BP$.
Gọi một số tự nhiên là *chấp nhận được* nếu nó có không quá 9 ước nguyên tố phân biệt. Cho một đống gồm $100! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 100$ viên sỏi. Một nước đi hợp lệ là lấy khỏi đống $k$ viên sỏi, trong đó $k$ là một *số chấp nhận được*. Hai người chơi $A$ và $B$ lần lượt thực hiện các nước đi hợp lệ; $A$ đi trước. Người lấy viên sỏi cuối cùng thắng. Hãy xác định người chơi nào có chiến thuật thắng.
Gọi $N$ là số các bộ có thứ tự gồm 9 số nguyên dương $(x_1, x_2, \dots, x_9)$ thỏa mãn
$$
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_9} = 1.
$$
Hãy xác định $N$ chẵn hay lẻ. Hãy giải thích đáp án của bạn.
Tìm tất cả $n \in \mathbb{N}$ có thể biểu diễn dưới dạng $n = [a,b] + [b,c] + [c,a]$ với $a, b, c \in \mathbb{N}$. Ở đây $[u,v]$ ký hiệu bội chung nhỏ nhất của $u$ và $v$.
Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$. Một nước đi hợp lệ là chọn một ước thực sự của một trong hai số đó và cộng nó vào $a$ hoặc vào $b$. Hai người chơi $A$ và $B$ lần lượt thực hiện các nước đi hợp lệ; $A$ đi trước. Người nào thu được một số $\ge 2015$ thì thắng. Hãy xác định ai thắng nếu trò chơi bắt đầu với:
$$
a) a=3, b=5; \qquad b) a=6, b=7.
$$
(Ở đây ước thực sự của $k \in \mathbb{N}$ là số $d \in \mathbb{N}$ sao cho $d$ là ước của $k$ và $d \neq k$.)
Xét các điểm $O = (0,0)$, $A = (-2,0)$ và $B = (0,2)$ trong mặt phẳng tọa độ. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $OA$ và $OB$. Quay tam giác $OEF$ theo chiều kim đồng hồ quanh $O$ để được tam giác $OE'F'$, và với mỗi vị trí sau khi quay, gọi $P = (x, y)$ là giao điểm của các đường thẳng $AE'$ và $BF'$. Tìm giá trị lớn nhất của tung độ của $P$.
Một đoạn thẳng $S$ có độ dài $50$ được phủ bởi một số đoạn thẳng có độ dài $1$, tất cả đều nằm trong $S$. Nếu bỏ đi bất kỳ đoạn đơn vị nào trong số đó thì $S$ không còn được phủ kín nữa. Tìm số lớn nhất các đoạn đơn vị có tính chất này. Giả sử các đoạn thẳng bao gồm cả các đầu mút.
Alex nghĩ ra một số $N$ trong tập $S = \{1, 2, ..., 1001\}$, và Bibi phải tìm ra số đó bằng quy trình sau. Bibi đưa cho Alex một danh sách các tập con của $S$, Alex đọc danh sách và cho Bibi biết có bao nhiêu tập con trong danh sách chứa $N$. Nếu muốn, Bibi có thể làm lại như vậy với danh sách thứ hai, rồi danh sách thứ ba, nhưng không được dùng quá 3 danh sách.
Tổng số tập con ít nhất là bao nhiêu để Bibi chắc chắn tìm được $N$?
Cho tam giác $ABC$, và $D$ là một điểm trên cạnh $BC$. Một đường thẳng đi qua $D$ cắt cạnh $AB$ tại $X$ và tia $AC$ tại $Y$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BXD$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\omega$ của tam giác $ABC$ tại điểm thứ hai $Z \neq B$. Các đường thẳng $ZD$ và $ZY$ cắt $\omega$ lần nữa lần lượt tại $V$ và $W$. Chứng minh rằng $AB = VW$.
Gọi $S=\{2,3,4, \ldots\}$ là tập các số nguyên lớn hơn hoặc bằng $2$. Có tồn tại hàm số $f: S \rightarrow S$ sao cho
$$
f(a) f(b) = f\left(a^{2} b^{2}\right) \text{ với mọi } a, b \in S \text{ thỏa mãn } a \neq b?
$$
Một dãy số thực $a_{0}, a_{1}, \ldots$ được gọi là $\operatorname{tốt}$ nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn.
(i) Giá trị của $a_{0}$ là một số nguyên dương.
(ii) Với mỗi số nguyên không âm $i$ ta có $a_{i+1}=2 a_{i}+1$ hoặc $a_{i+1}=\frac{a_{i}}{a_{i}+2}$.
(iii) Tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho $a_{k}=2014$.
Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một dãy số thực tốt $a_{0}, a_{1}, \ldots$ có tính chất $a_{n}=2014$.
