MathNet 2026 — Phần 10

Ký hiệu bằng $f(n)$ Số nguyên thu được bằng cách đảo ngược các chữ số của số nguyên dương $n$. Tìm số nguyên lớn nhất chắc chắn chia $n^{4}-f(n)^{4}$ bất kể lựa chọn $n$.

Với một tam giác $ABC$, chúng tôi vẽ ba hình tròn có đường kính tương ứng là $AB$, $BC$ và $CA$. Chứng minh rằng tồn tại một điểm nằm trong cả ba đường tròn.

Một lâu đài có vô số phòng được dán nhãn $1,2,3, \ldots$, được chia thành nhiều hội trường. Giả sử phòng $n$ nằm trên cùng một hội trường với các phòng $3 n+1$ và $n+10$ cho mỗi $n$. Xác định số lượng tối đa có thể của các hội trường khác nhau trong lâu đài.

Hai đường tròn đồng tâm có bán kính $r$ và $R \gt r$. Ba đường tròn mới được vẽ sao cho mỗi đường tròn tiếp tuyến với hai đường tròn lớn và tiếp tuyến với hai đường tròn mới khác. Tìm $\frac{R}{r}$.

Trên một hành tinh xa xôi, có các thành phố $2014$, một số cặp được nối với nhau bằng đường hai chiều. Nó chỉ ra rằng dân số của mỗi thành phố là trung bình của dân số của các thành phố mà nó được kết nối bằng một con đường duy nhất, và hơn nữa là có thể đi từ mọi thành phố đến mọi thành phố khác bằng một chuỗi các con đường. Chứng minh rằng tất cả các thành phố có cùng dân số.

Tìm tất cả các cặp số nguyên $x, y$ sao cho $2 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2} = -1$.

Cho $a \gt 2$ được đưa ra và xác định một chuỗi $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ bởi $$
a_{0} = 1, \quad a_{1} = a, \quad a_{n+1} = \left(\frac{a_{n}^{2}}{a_{n-1}^{2}} - 2\right) \cdot a_{n} .
$$ cho thấy rằng đối với tất cả các số nguyên $k \geq 0$, chúng tôi có $$
\sum_{i=0}^{k} \frac{1}{a_{i}} \lt \frac{a+2-\sqrt{a^{2}-4}}{2} .
$$

Nếu $n$ là một số tự nhiên sao cho $2n+1$ và $3n+1$ là những số chính phương, hãy chứng minh rằng $5n+3$ không thể là số nguyên tố.

Giả sử rằng $b$ và $c$ là các số thực sao cho phương trình $$
x^{2}+b x+c=0
$$ có hai giải pháp khác nhau $x_{1}, x_{2}$. Giả sử rằng
a. sự khác biệt (dương) giữa $x_{1}$ và $x_{2}$ là $1$;
b. Sự khác biệt (dương) giữa $b$ và $c$ cũng là $1$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $b$ và $c$.

Chúng ta có một hàng hộp vô hạn theo một hướng, như hình minh họa. Xác định xem có thể điền vào mỗi hộp với một số nguyên dương sao cho số trong mỗi hộp (ngoại trừ hộp số ngoài cùng bên trái) lớn hơn giá trị trung bình của các số trong hai ô lân cận.

Cho $N$ là một số nguyên dương. Xác định một chuỗi $a_{n}$, $n \geq 0$, bởi $$
a_{0}=0, \quad a_{1}=1, \quad a_{n+1}+a_{n-1}=a_{n}\left(2-\frac{1}{N}\right) \quad(n \geq 1)
$$ chứng minh rằng $a_{n}\lt \sqrt{N+1}$ cho tất cả $n \geq 0$.

Bạn được tặng một thanh sô cô la $m \times n$ được chia thành các ô vuông $1 \times 1$. Bạn có thể bẻ một miếng sô cô la bằng cách tách nó thành hai mảnh dọc theo một đường thẳng không cắt qua bất kỳ hình vuông $1 \times 1$ nào. Số lần tối thiểu bạn phải phá vỡ thanh để tách tất cả các ô vuông $1 \times 1$ là bao nhiêu?

Cho thấy $n$ chia $\varphi\left(a^{n}-1\right)$ cho bất kỳ số nguyên nào $a$ và $n$, trong đó $\varphi$ là đối tượng của Euler chức năng.

Như trong sơ đồ trên, các đỉnh của một hình lục giác thông thường có màu đen và trắng xen kẽ. Chúng tôi muốn vẽ các đoạn thẳng màu giữa các điểm sao cho
a. mọi điểm đen được kết nối với mọi điểm trắng bằng một đoạn thẳng.
b. Không có hai đoạn thẳng có cùng màu giao nhau, ngoại trừ ở điểm cuối của chúng. Xác định, với bằng chứng, số lượng màu tối thiểu cần thiết.

Pentagon $A B C D E$ có tính chu kỳ, tức là được ghi trong một đường tròn. Đường chéo $A C$ và $B D$ gặp nhau tại $P$, và các đường chéo $A D$ và $C E$ gặp nhau tại $Q$. Tam giác $A B P$, $A E Q$, $C D P$, $C D Q$, và $A P Q$ có các khu vực bằng nhau. Chứng minh rằng ngũ giác đều đều.

Một xã hội có các thành viên $100$ và cứ hai thành viên là bạn bè hoặc kẻ thù. Chứng minh rằng có hai người từ xã hội có số kẻ thù chung.

Xác định tất cả các bộ ba $(x, y, n)$ của các số nguyên sao cho $x^{2} + 2 y^{2} = 2^{n}$.

Tổng các chữ số của tất cả các số đếm nhỏ hơn $13$ là $$
1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51
$$ Tìm tổng các chữ số của tất cả các số đếm nhỏ hơn $1000$.

Có tồn tại một số nguyên sao cho hình lập phương của nó bằng $3 n^{2} + 3 n + 7$, trong đó $n$ là một số nguyên không?

Trong tam giác $A B C$ góc $B$ không phải là góc vuông, và $A B : B C = k$. Gọi $M$ là trung điểm của $A C$. Các dòng đối xứng với $B M$ đối với $A B$ và $B C$ cắt $A C$ tại $D$ và $E$. Tìm $B D : B E$.