Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 1999

Xác định tất cả các cặp số nguyên $(a, b)$ với tính chất là các số $a^{2}+4b$ và $b^{2}+4a$ đều là số chính phương.

Cho $S$ là tập hợp các điểm $2n+1$ trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm đồng tuyến. Một hình tròn sẽ được gọi là tốt nếu nó có 3 điểm $S$ trên chu vi, $n-1$ ở bên trong và $n-1$ ở bên ngoài. Chứng minh rằng số vòng tròn tốt có cùng số chẵn lẻ với $n$.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ với tính chất sau: Không tồn tại cấp số cộng của các số hạng $1999$ của các số thực chứa chính xác các số nguyên $n$.

Cho $\Gamma_{1}$ và $\Gamma_{2}$ là hai đường tròn cắt nhau tại $P$ và $Q$. Tiếp tuyến chung, gần $P$ hơn, của $\Gamma_{1}$ và $\Gamma_{2}$ chạm $\Gamma_{1}$ tại $A$ và $\Gamma_{2}$ tại $B$. Tiếp tuyến của $\Gamma_{1}$ tại $P$ gặp $\Gamma_{2}$ tại $C$, khác với $P$ và phần mở rộng của $A P$ gặp $B C$ tại $R$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $P Q R$ tiếp xúc với $B P$ và $B R$.

Cho $a_{1}, a_{2}, \cdots$ là dãy số thực thỏa mãn $a_{i+j} \leq a_{i}+a_{j}$ với mọi $i, j=1,2, \cdots$. Chứng minh rằng
$$
a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\frac{a_{3}}{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n} \geq a_{n}
$$
với mỗi số nguyên dương $n$.

Cho $ABCDE$ là một hình ngũ giác đều sao cho ngôi sao $ACEBD$ có diện tích $1$. Đặt $P$ là giao điểm của $AC$ và $BE$ và $Q$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. Tìm diện tích của $APQD$.

Cho tam giác $ABC$, giải thích cách dựng bằng thước và compa một tam giác $A'B'C'$ có diện tích nhỏ nhất sao cho $C' \in AC$, $A' \in AB$, $B' \in BC$ và $\angle B'A'C' = \angle BAC$, $\angle A'C'B' = \angle ACB$.

Hành tinh *Zork* có hình cầu và có nhiều thị trấn. Đối với mỗi thị trấn có một thị trấn đối cực tương ứng (tức là đối xứng với tâm hành tinh).
Có những con đường nối các cặp thị trấn ở Zork. Nếu có đường nối thị trấn $P$ và $Q$ thì cũng có đường nối thị trấn $P'$ và $Q'$, trong đó $P'$ là đối cực của $P$ và $Q'$ là đối cực của $Q$. Ngoài ra, các con đường không cắt nhau và đối với hai thị trấn $P$ và $Q$ bất kỳ, đều có thể đi từ $P$ đến $Q$ thông qua một số dãy đường.
Giá của *Kriptonita* bằng *Urghs* (đơn vị tiền tệ hành tinh) ở hai thị trấn nối với nhau bằng một con đường chênh lệch không quá 100 *Urghs*. Chứng minh rằng tồn tại hai thị trấn đối cực sao cho giá của *Kriptonita* ở những thị trấn này khác nhau không quá 100 *Urghs*.

Quân $n$ phải được đặt trên các ô vuông của bảng $10 \times 10$ sao cho không có 4 quân nào là đỉnh của hình chữ nhật có các cạnh song song với các cạnh của bảng. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ mà điều này có thể xảy ra.

Có các đội bóng $n$ ở *Tumbólia*.
Một giải vô địch sẽ được tổ chức trong đó mỗi đội đấu với nhau đúng một lần. Mỗi trận đấu diễn ra vào Chủ nhật và một đội không được thi đấu nhiều hơn một lần trong cùng một ngày.
Tìm số nguyên nhỏ nhất $m$ để có thể thiết lập chức vô địch kéo dài $m$ vào Chủ nhật.

Chứng minh rằng có ít nhất một chữ số khác 0 nằm giữa chữ số thập phân thứ 1.000.000 và thứ 3.000.000 của $\sqrt{2}$.

Trong tam giác $A B C$ có $2|A B|=|A C|+|B C|$. Chứng minh rằng tâm đường tròn $A B C$, tâm đường tròn $A B C$ và trung điểm của $A C$ và $B C$ đồng tuyến.

Có tồn tại một dãy hữu hạn các số nguyên $c_{1}, \ldots, c_{n}$ sao cho tất cả các số $a+c_{1}, \ldots, a+c_{n}$ đều là số nguyên tố của nhiều hơn một nhưng không phải là vô số số nguyên khác nhau $a$ không?

Các điểm của một đĩa có bán kính $1$ (bao gồm cả chu vi của nó) có thể được phân chia thành ba tập hợp con sao cho không có tập hợp con nào chứa hai điểm cách nhau một khoảng $1$ không?

Cho $a$, $b$, $c$ và $d$ là các số nguyên tố sao cho $a \gt 3b \gt 6c \gt 12d$ và $a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2} = 1749$. Xác định tất cả các giá trị có thể có của $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$.

Số nước đi ít nhất mà một quân mã phải đi từ một góc của bàn cờ $n \times n$, trong đó $n \geqslant 4$, đến góc chéo đối diện là bao nhiêu?

Xác định mọi số nguyên dương $n \geqslant 3$ sao cho bất đẳng thức
$$
a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n-1} a_{n}+a_{n} a_{1} \leqslant 0
$$
đúng với mọi số thực $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ thỏa mãn $a_{1}+\cdots+a_{n}=0$.

Xác định tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất là căn bậc ba của $n$ bằng cách loại bỏ ba chữ số thập phân cuối cùng của $n$.

Một khối lập phương có chiều dài cạnh $3$ được chia thành các khối đơn vị $27$. Các số $1,2, \ldots, 27$ được phân phối tùy ý trên các khối đơn vị, với một số trong mỗi khối. Chúng ta tạo thành các tổng hàng có thể có $27$ (có chín tổng như vậy của ba số nguyên cho mỗi hướng trong số ba hướng song song với các cạnh của khối lập phương). Tối đa có bao nhiêu tổng hàng $27$ có thể là số lẻ?

Hai hình vuông trên bàn cờ $8 \times 8$ được gọi là liền kề nếu chúng có một cạnh chung hoặc một góc chung. Liệu vua có thể bắt đầu ở một ô nào đó và đi thăm tất cả các ô đúng một lần sao cho tất cả các nước đi ngoại trừ nước đầu tiên đều được tạo thành các ô liền kề với một số chẵn các ô đã được viếng thăm?