27 ô của một lưới $3 \times 9$ được điền bằng các số từ 1 đến 9 sao cho mỗi hàng chứa 9 số khác nhau, và mỗi khối trong ba khối $3 \times 3$ được viền đậm trong ví dụ dưới đây chứa 9 số khác nhau, giống như ba hàng đầu tiên của một câu đố Sudoku.
Số cách khác nhau để điền một lưới như vậy có thể viết dưới dạng $p^a \cdot q^b \cdot r^c \cdot s^d$, trong đó $p, q, r$ và $s$ là các số nguyên tố phân biệt, còn $a, b, c$ và $d$ là các số nguyên dương. Tìm $p \cdot a + q \cdot b + r \cdot c + s \cdot d$.
Cho $k$ là một số thực sao cho hệ phương trình
$$
\begin{aligned}
|25 + 20i - z| &= 5 \\
|z - 4 - k| &= |z - 3i - k|
\end{aligned}
$$
có đúng một nghiệm phức $z$. Tổng tất cả các giá trị có thể có của $k$ có thể viết dưới dạng $\frac{m}{n}$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m+n$. Ở đây $i = \sqrt{-1}$.
Bốn hình vuông đơn vị tạo thành một lưới $2 \times 2$. Mỗi đoạn trong $12$ đoạn thẳng đơn vị tạo nên các cạnh của các hình vuông được tô màu đỏ hoặc xanh sao cho mỗi hình vuông đơn vị có $2$ cạnh đỏ và $2$ cạnh xanh. Một ví dụ được cho ở hình dưới đây (màu đỏ là nét liền, màu xanh là nét đứt). Tìm số cách tô màu như vậy.
Cho $\triangle ABC$ là tam giác vuông với $\angle A = 90^\circ$ và $BC = 38$. Tồn tại các điểm $K$ và $L$ nằm bên trong tam giác sao cho
$$
AK = AL = BK = CL = KL = 14.
$$
Diện tích của tứ giác $BKLC$ có thể biểu diễn dưới dạng $n\sqrt{3}$ với $n$ là một số nguyên dương. Tìm $n$.
Một quân Vua cờ vua được đặt vào một ô của bàn cờ $8 \times 8$, sau đó nó thực hiện $64$ nước đi sao cho đi qua tất cả các ô và quay trở về ô ban đầu. Tại mỗi thời điểm, ta tính khoảng cách từ tâm của ô mà quân Vua đang đứng đến tâm của bàn cờ. Ta gọi một nước đi là *dễ chịu* nếu sau nước đi đó khoảng cách này trở nên nhỏ hơn so với trước nước đi. Tìm số nước đi dễ chịu lớn nhất có thể.
(Mỗi nước đi, quân Vua di chuyển sang một ô chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng.)
Hai đường chéo của tứ giác lồi $ABCD$ cắt nhau tại $E$. Bốn tiếp điểm của các đường tròn $(ABE)$ và $(CDE)$ với các tiếp tuyến chung ngoài của chúng nằm trên một đường tròn $\omega$. Tương tự, bốn tiếp điểm của các đường tròn $(ADE)$ và $(BCE)$ với các tiếp tuyến chung ngoài của chúng nằm trên một đường tròn $\gamma$. Chứng minh rằng tâm của $\omega$ và tâm của $\gamma$ trùng nhau.
Trên biên của tam giác $ABC$ chọn các điểm $D_1, D_2, E_1, E_2, F_1, F_2$ sao cho khi đi vòng quanh chu vi tam giác, ta gặp các điểm theo thứ tự sau: $A, F_1, F_2, B, D_1, D_2, C, E_1, E_2$. Biết rằng $AD_1 = AD_2 = BE_1 = BE_2 = CF_1 = CF_2$, chứng minh rằng hai tam giác tạo bởi bộ ba đường thẳng $AD_1, BE_1, CF_1$ và bộ ba đường thẳng $AD_2, BE_2, CF_2$ có chu vi bằng nhau.
Cho $P$ là một điểm nằm bên trong tam giác $ABC$. Cho $Q$ là một điểm trên đoạn thẳng $AB$ và $R$ là một điểm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho cả hai đường tròn ($BPQ$) và ($CPR$) đều tiếp xúc với đường thẳng $AP$. Qua $B$ và $C$ ta kẻ các đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ($BPC$), và qua $Q$ và $R$ ta kẻ các đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ($PQR$). Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn tiếp xúc với cả bốn đường thẳng đã kẻ.
Cho lăng trụ đứng $ABC A_1 B_1 C_1$. Biết rằng các tam giác $A_1 BC$, $AB_1 C$, $ABC_1$ và $ABC$ đều là tam giác nhọn. Chứng minh rằng trực tâm của các tam giác này và trọng tâm của tam giác $ABC$ cùng nằm trên một mặt cầu.
Cho tam giác $\triangle ABC$ với $\angle BAC = 2\angle CBA$ và $AB \lt AC$. Điểm $P$ nằm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $PC = AB + AP$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\triangle ABP$, và gọi $Q$ là giao điểm của đường thẳng qua $O$ song song với $AB$ với $BP$. Chứng minh rằng $AQ$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$.
Cho $\triangle ABC$ là một tam giác nhọn có trực tâm $H$ và $D$ là một điểm tùy ý trên cạnh $BC$. Gọi $E$ và $Z$ lần lượt là các điểm trên các đoạn thẳng $AB$ và $AC$ sao cho các tứ giác $ABDZ$ và $ACDE$ nội tiếp, và gọi $P$ là giao điểm của hai đoạn thẳng $BZ$ và $CE$. Gọi $L$ là giao điểm của đường thẳng $HA$ với tiếp tuyến tại điểm $C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $\triangle PBC$. Biết rằng các đường thẳng $BH$ và $CP$ cắt nhau tại $X$, chứng minh rằng $D$ nằm trên đường thẳng $LX$.
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $\triangle ABC$, và $D$ là một điểm tùy ý trên cung $\widehat{AB}$ không chứa điểm $C$ của đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$. Gọi $I_A$ và $I_B$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của $\triangle BCD$ và $\triangle ACD$. Các đường thẳng $DI_A$ và $II_B$ cắt nhau tại điểm $X_A$, các đường thẳng $DI_B$ và $II_A$ cắt nhau tại điểm $X_B$. Chứng minh rằng giao điểm của các đường thẳng $X_A X_B$ và $I_A I_B$ nằm trên một đường thẳng cố định, không phụ thuộc vào cách chọn $D$.
Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi thỏa mãn $AB^2 + BC^2 = AD^2 + CD^2$. Các điểm $X$ và $Y$ được chọn sao cho $XD \perp CD$, $XB \perp AB$, $YB \perp BC$ và $YD \perp AD$. Gọi $T$ là giao điểm của các đường thẳng $AC$ và $XY$, và $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $XY$. Chứng minh rằng các điểm $T, M, B, D$ cùng nằm trên một đường tròn.
Một đồ thị được gọi là *tốt* nếu có thể tô các cạnh của nó bằng 2 màu sao cho không có chu trình nào có hai cạnh liên tiếp cùng màu. Hỏi một đồ thị *tốt* có 1000 đỉnh có nhiều nhất bao nhiêu cạnh?
Một con thỏ đang ở điểm $(x, y)$ nào đó trong mặt phẳng Euclid. Có một số (có thể vô hạn) quả mìn, là các đường tròn với bán kính tùy ý, đôi một không cắt nhau ngoại trừ có thể có chung một điểm (tiếp xúc). Mỗi bước, con thỏ có thể nhảy một khoảng cách đúng bằng $1$, nhưng không được đáp xuống phần trong của một quả mìn (nhưng có thể đáp xuống trên biên). Giả sử cả con thỏ lẫn gốc tọa độ đều không nằm trong quả mìn nào. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\varepsilon$ sao cho con thỏ luôn có thể đến được một điểm cách gốc tọa độ không quá $\varepsilon$, bất kể các quả mìn được bố trí như thế nào.
Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$ và đường tròn ngoại tiếp $\Omega$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là điểm chính giữa của các cung $\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$ của $\Omega$ không chứa $A, B, C$. Gọi $D'$ là điểm trên $\Omega$ xuyên tâm đối với $D$. Chứng minh rằng $I, D'$ và trung điểm $M$ của $[EF]$ thẳng hàng.
Một nhóm 4050 người bạn tham gia một giải đấu trò chơi điện tử. Tại giải đấu có 2025 máy tính được đánh nhãn $a_1, \dots, a_{2025}$ trong một phòng và 2025 máy tính được đánh nhãn $b_1, \dots, b_{2025}$ trong một phòng khác. Người chơi ở máy $a_i$ luôn đấu với các người chơi ở $b_i, b_{i+2}, b_{i+3}$ và $b_{i+4}$ (nói riêng, không đấu với $b_{i+1}$), trong đó số hiệu các máy tính được xét theo modulo 2025. Sau vòng thứ nhất, tất cả người chơi chọn một máy tính trong phòng của mình cho vòng thứ hai. Sau đó, họ nhận thấy rằng mọi người có các đối thủ trong vòng thứ hai giống hệt như trong vòng thứ nhất.
Chứng minh rằng nếu có một người chọn cùng một máy tính trong cả hai vòng thì mọi người đều chọn cùng một máy tính trong cả hai vòng.
Mặt phẳng được chia bởi các đường thẳng đứng và nằm ngang thành các ô vuông đơn vị. Hỏi có thể viết các số nguyên vào các ô của lưới vô hạn này sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn hay không:
(i) mỗi ô chứa đúng một số nguyên
(ii) mỗi số nguyên xuất hiện đúng một lần
(iii) với mọi hai ô $A$ và $B$ có chung đúng một đỉnh, nếu chúng chứa các số nguyên $a$ và $b$ thì ít nhất một trong các ô có chung một cạnh với cả $A$ và $B$ chứa một số nguyên nằm giữa $a$ và $b$.
Cho điểm $P$ nằm trên đường tròn chín điểm của tam giác $ABC$. Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AP$ cắt $BC$ tại $Q$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AQ$ cắt $PQ$ tại $X$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, và gọi $D$ và $M$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC$ và $AQ$. Chứng minh rằng $XH \perp DM$.
Cho $\triangle ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung $BC$ của $\Gamma$ không chứa $A$. Điểm $N$ trên $\Gamma$ là điểm xuyên tâm đối của $A$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AM$ cắt $AM$ tại điểm $D$ và cắt $\Gamma$ lần thứ hai tại điểm $P \neq B$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $AC$ cắt $AC$ tại điểm $E$ và cắt $BC$ tại điểm $F$.
Chứng minh rằng $ND$, $MF$ và $PE$ đồng quy.
