Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 1964

Tìm tất cả các phạm vi giá trị của $x$ mà $$
\cos x+\operatorname{sen} x\gt 1
$$ cùng một vấn đề cho $$
\cos x+|\operatorname{sen} x|\gt 1
$$

Một tam giác đều được nội tiếp trong một đường tròn tâm của $O$ và bán kính bằng $4~\mathrm{cm}$, một góc vuông quay quanh $O$. Tìm diện tích của phần chung của tam giác đã cho và diện tích thu được ở lượt đó.

Một microgroove quay với tốc độ $33 \frac{1}{3}$ mỗi phút và thính giác của nó kéo dài 24 phút $30 \mathrm{~s}$. Phần khắc có đường kính ngoài $29 \mathrm{~cm}$ và 11,5 $\mathrm{cm}$ đường kính trong. Với những dữ liệu này, hãy tính độ dài của rãnh khắc.

Có bao nhiêu số có ba chữ số (tức là lớn hơn $99$ và nhỏ hơn $1000$) có số trung tâm của chúng cao hơn hai số còn lại? Có bao nhiêu người trong số họ cũng có ba số liệu khác nhau?

Ai cũng biết rằng nếu $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$, cả hai lý do đều bằng $\frac{p - r}{q - s}$. Bây giờ chúng ta viết bình đẳng $$
\frac{3x - b}{3x - 5b} = \frac{3a - 4b}{3a - 8b}
$$ bởi thuộc tính trước đó, cả hai phân số phải bằng $$
\frac{3x - 5b - 3a + 8b}{3x - b - 3a + 4b} = \frac{3x - 3a + 3b}{3x - 3a + 3b} = 1
$$ trong khi các đề xuất thường khác với đơn vị. Giải thích rõ ràng kết quả này là do.

Nếu $m$, $k$, $n$ là số tự nhiên và $n \gt 1$, chứng minh rằng chúng ta không thể có $m(m + 1) = k^n$.

Trong tam giác $ABC$, độ dài của độ cao từ $A$ không nhỏ hơn $BC$, và độ dài của độ cao từ $B$ không nhỏ hơn $AC$. Tìm các góc.

Số lượng tứ diện nhỏ nhất mà hình lập phương có thể được phân chia là bao nhiêu?

Một vòng tròn được ghi bằng $ABCD$. $AB$ song song với $CD$ và $BC = AD$. Các đường chéo $AC$, $BD$ gặp nhau tại $E$. Các vòng tròn được ghi trong $ABE$, $BCE$, $CDE$, $DAE$ có bán kính $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$ tương ứng. Chứng minh rằng $1 / r_1 + 1 / r_3 = 1 / r_2 + 1 / r_4$.

cho một mạng tinh thể của các hình lục giác thông thường. Một lỗi thu thập thông tin từ đỉnh $A$ đến đỉnh $B$ dọc theo các cạnh của hình lục giác, đi theo đường ngắn nhất có thể (hoặc một trong số chúng). Chứng minh rằng nó đi được một quãng đường ít nhất là $AB/2$ theo một hướng. Nếu nó di chuyển chính xác $AB/2$ theo một hướng, nó sẽ đi qua bao nhiêu cạnh?

Cho $n$ lẻ và một tập hợp các số nguyên $\{a_1\}$, $\{a_2\}$, ..., $\{a_n\}$, lấy một bộ mới $(\{a_1\} + \{a_2\}) / 2$, $(\{a_2\} + \{a_3\}) / 2$, ..., $(\{a_{n - 1}\} + \{a_n\}) / 2$, $(\{a_n\} + \{a_1\}) / 2$. Tuy nhiên, nhiều lần chúng ta lặp lại quá trình này cho một tập hợp cụ thể, chúng ta luôn nhận được số nguyên. Chứng minh rằng tất cả các số trong tập bắt đầu bằng nhau. Ví dụ: nếu chúng tôi bắt đầu với $5, 9, 1$, chúng tôi sẽ nhận được $7, 5, 3$, và sau đó là $6, 4, 5$, và sau đó là $5, 4, 5, 5.5$. Tập cuối không hoàn toàn bao gồm các số nguyên.

Giảm mỗi tỷ số tự nhiên đầu tiên (tỷ $= 10^9$) xuống một chữ số duy nhất bằng cách lấy tổng chữ số của nó nhiều lần. Chúng ta có nhận được nhiều 1 hơn 2s không?

$ABCD$ là tứ giác lồi. $A'$ là chân của đường vuông $A$ đến đường chéo $BD$, $B'$ là chân của đường vuông $B$ đến đường chéo $AC$, và như vậy. Chứng minh rằng $A'B'C'D'$ tương tự như $ABCD$.

Một trung tâm hình tròn $O$ được ghi trong $ABCD$ (chạm vào mọi bên). Chứng minh rằng $\angle AOB + \angle COD$ bằng $180$ độ.

Các số tự nhiên $a$, $b$, $n$ là sao cho mọi số tự nhiên $k$ không bằng $b$, $b - k$ chia $a - k^n$. Chứng minh rằng $a = b^n$.

a) Tìm hình vuông nhỏ nhất có chữ số cuối cùng chứ không phải $0$ mà trở thành một hình vuông khác (không phải là 0) bằng cách xóa hai chữ số cuối cùng của nó.
b) Tìm tất cả các ô vuông, không chứa các chữ số $0$ hoặc $5$, sao cho nếu chữ số thứ hai bị xóa, số kết quả sẽ chia chữ số ban đầu.

a. Lục giác lồi $ABCDEF$ có tất cả các góc bằng nhau. Chứng minh rằng $AB - DE = EF - BC = CD - FA$.
b. Cho sáu độ dài $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$ thỏa mãn $a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} = a_{3} - a_{6}$, cho thấy rằng bạn có thể xây dựng một hình lục giác với các cạnh $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$ và góc bằng nhau.

Tìm tất cả các giải pháp số nguyên có thể có cho $\sqrt{x + \sqrt{x + \ldots + \sqrt{x}}} = y$, nơi có 1998 căn bậc hai.

Chúng ta có thể thu được bao nhiêu biểu thức (đại số) khác nhau bằng cách đặt dấu ngoặc đơn trong $a_1 / a_2 / \ldots / a_n$?