Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 1962

Cho một số có 1998 chữ số chia hết cho 9. Gọi $x$ là tổng các chữ số của nó, gọi $y$ là tổng của các chữ số của $x$ và $z$ tổng các chữ số của $y$. Tìm $z$.

Cho một vòng tròn cố định $C$ và một dòng $L$ qua trung tâm $O$ của $C$. Lấy một điểm thay đổi $P$ trên $L$ và để $K$ là tâm vòng tròn $P$ qua $O$. Cho $T$ là điểm mà một tiếp tuyến chung với $C$ và $K$ gặp $K$. locus của $T$ là gì?

Cho bốn số thực dương $a$, $b$, $c$, $d$ sao cho $abcd = 1$, chứng minh rằng $$
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd \geq 10.
$$

Tam giác $ABC$ thỏa mãn $0 \leq AB \leq 1 \leq BC \leq 2 \leq CA \leq 3$. Diện tích tối đa mà nó có thể có là bao nhiêu?

$AB = BC$ và $M$ là trung điểm của $AC$. $H$ được chọn trên $BC$ sao cho $MH$ vuông góc với $BC$. $P$ là trung điểm của $MH$. Chứng minh rằng $AH$ vuông góc với $BP$.

Cho $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$, thỏa mãn $a_0 = a_n = 0$ và $a_{k - 1} - 2a_k + a_{k + 1} \geq 0$ cho $k = 1, 2, ..., n-1$. Chứng minh rằng tất cả các số là âm hoặc bằng không.

Cho các số nguyên không bằng nhau $x$, $y$, $z$ Chứng minh rằng $\left(x - y\right)^{5} + \left(y - z\right)^{5} + \left(z - x\right)^{5}$ là chia hết cho $5(x - y)(y - z)(z - x)$.

Cho độ dài $AB$ và $BC$ và thực tế là đường trung bình của hai cạnh đó là vuông góc, hãy xây dựng tam giác $ABC$.

Chứng minh rằng không có số nguyên $a$, $b$, $c$, $d$ sao cho đa thức $ax^3 + bx^2 + cx + d$ bằng nhau $1$ tại $x = 19$ và $2$ tại $x = 62$.

Cho số nguyên $a_0$, $a_1$, ..., $a_{100}$, thỏa mãn $a_1 \gt a_0$, $a_1 \gt 0$, và $a_{r + 2} = 3 a_{r + 1} - 2 a_r$ cho $r = 0$, $1$,..., $98$. Chứng minh $a_{100} \gt 2^{99}$.

$ABCD$ là tứ giác lồi. Xây dựng tứ giác mới như sau. Lấy $A'$ sao cho $A$ là trung điểm của $DA'$; Tương tự, $B'$ để $B$ là trung điểm của $AB'$; $C'$ để $C$ là trung điểm của $BC'$; và $D'$ để $D$ là trung điểm của $CD'$. Chứng minh rằng diện tích $A'B'C'D'$ gấp 5 lần diện tích $ABCD$.

Cho một hình ngũ giác cố định $ABCDE$ bên cạnh $1$ bên. Cho $M$ là một điểm tùy ý bên trong hoặc trên đó. Để khoảng cách từ $M$ đến đỉnh gần nhất là $\mathbf{r}_1$, đến gần nhất là $\mathbf{r}_2$, v.v., sao cho khoảng cách từ $M$ đến Năm đỉnh thỏa mãn $\mathbf{r}_1 \leq \mathbf{r}_2 \leq \mathbf{r}_3 \leq \mathbf{r}_4 \leq \mathbf{r}_5$. Tìm
a) locus của $M$ mang lại cho $\mathbf{r}_3$ giá trị tối thiểu có thể,
b) locus của $M$ cho phép $\mathbf{r}_3$ giá trị tối đa có thể.

Cho một mảng số $n \times n$. $n$ là số lẻ và mỗi số trong mảng là $1$ hoặc $-1$. Chứng minh rằng số hàng và cột chứa một số lẻ $-1$S không thể tổng $n$.