Ngân hàng câu hỏi Math Olympiad Vault 2005

Chứng minh rằng với mỗi số thực vô tỉ $a$, tồn tại các số thực vô tỉ $b$ và $b^{\prime}$ sao cho $a+b$ và $a b^{\prime}$ đều hữu tỉ, còn $a b$ và $a+b^{\prime}$ đều vô tỉ.

Cho $a$, $b$ và $c$ là các số thực dương thỏa mãn $a b c = 8$. Chứng minh rằng
$$
\frac{a^{2}}{\sqrt{\left(1+a^{3}\right)\left(1+b^{3}\right)}} + \frac{b^{2}}{\sqrt{\left(1+b^{3}\right)\left(1+c^{3}\right)}} + \frac{c^{2}}{\sqrt{\left(1+c^{3}\right)\left(1+a^{3}\right)}} \geq \frac{4}{3}
$$

Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có thể chia thành 2005 tam giác bằng nhau.

Một thị trấn nhỏ có $n \times n$ ngôi nhà, được đánh chỉ số $(i, j)$ với $1 \leq i, j \leq n$; nhà $(1,1)$ ở góc trên bên trái, trong đó $i$ và $j$ lần lượt là chỉ số hàng và cột. Tại thời điểm $0$, đám cháy bắt đầu ở nhà $(1, c)$, với $c \leq \frac{n}{2}$. Trong mỗi khoảng thời gian tiếp theo $[t, t+1]$, lính cứu hỏa bảo vệ một ngôi nhà chưa cháy, đồng thời lửa lan đến mọi nhà lân cận chưa được bảo vệ của các nhà đang cháy ở thời điểm $t$. Một nhà đã được bảo vệ sẽ luôn được bảo vệ. Quá trình kết thúc khi lửa không thể lan thêm. Lính cứu hỏa có thể cứu được nhiều nhất bao nhiêu ngôi nhà? Nhà $(i, j)$ là nhà lân cận của nhà $(k, \ell)$ nếu $|i-k|+|j-\ell|=1$.

Trong tam giác $A B C$, các điểm $M$ và $N$ lần lượt thuộc các cạnh $A B$ và $A C$ sao cho $M B = B C = C N$. Gọi $R$ và $r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác $A B C$. Biểu diễn tỉ số $M N / B C$ theo $R$ và $r$.

Có bao nhiêu số thực $x$ thỏa mãn phương trình sau?
$$
2003^{x} + 2004^{x} = 2005^{x}
$$

Cho $x$, $y$ và $z$ là ba số thực phân biệt có tổng bằng $0$. Tìm giá trị lớn nhất của
$$
\frac{x y + y z + z x}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.
$$

Với $a, b, c \gt 0$, tìm giá trị nhỏ nhất của $\left\lfloor\frac{a+b}{c}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{b+c}{a}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{c+a}{b}\right\rfloor$. (Kí hiệu $\lfloor x \rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.)

Mười số nguyên dương được xếp quanh một đường tròn. Mỗi số lớn hơn ước chung lớn nhất của hai số kề nó đúng một đơn vị. Tính tổng mười số đó.

Tính tổng các hoành độ $x$ của những giao điểm phân biệt của hai đường cong $x^{2}=x+y+4$ và $y^{2}=y-15 x+36$.

Cho $x$ là số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của
$$
\frac{x^{2}+2-\sqrt{x^{4}+4}}{x} .
$$

Tính
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+n^{2}+1}
$$

Số $27,000,001$ có đúng bốn thừa số nguyên tố. Tính tổng của chúng.

Tính tổng giá trị tuyệt đối của các nghiệm của phương trình $x^{4}-4 x^{3}-4 x^{2}+16 x-8=0$.

Cho $f(x) = x^{3} + a x + b$, với $a \neq b$. Giả sử các tiếp tuyến của đồ thị $f$ tại $x = a$ và $x = b$ song song. Tính $f(1)$.

Một đường cong phẳng có phương trình tham số $x(t) = \int_{t}^{\infty} \frac{\cos u}{u} du$ và $y(t) = \int_{t}^{\infty} \frac{\sin u}{u} du$ với $1 \leq t \leq 2$. Tính độ dài đường cong.

Cho hàm liên tục $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ thỏa mãn $\int_{0}^{1} f(x) f^{\prime}(x) d x=0$ và $\int_{0}^{1} f(x)^{2} f^{\prime}(x) d x=18$. Tính $\int_{0}^{1} f(x)^{4} f^{\prime}(x) d x$.

Cho hàm trơn $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ thỏa mãn $f'(x)^2 = f(x) f''(x)$ với mọi $x$. Biết $f(0) = 1$ và $f^{(4)}(0) = 9$. Tìm mọi giá trị có thể có của $f'(0)$.

Tính
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left(x^{x^{x}} - x^{x}\right).
$$

Đồ thị của $r=2+\cos 2\theta$ và ảnh đối xứng của nó qua đường thẳng $y=x$ giới hạn năm miền trong mặt phẳng. Tính diện tích miền chứa gốc tọa độ.