một bộ bóng được đưa ra. Mỗi quả bóng có màu đỏ hoặc xanh lam, và có ít nhất một trong mỗi màu. Mỗi quả bóng nặng $1$ hoặc $2$, và có ít nhất một quả trong mỗi quả nặng. Chứng minh rằng có những quả bóng $2$ có trọng lượng khác nhau và màu sắc khác nhau.
Gọi $f(n)$ là tổng của các số hạng $n$ đầu tiên của dãy $$
0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, \ldots
$$
a) cho một công thức cho $f(n)$.
b) chứng minh rằng $f(s+t)-f(s-t)=s t$ trong đó $s$ và $t$ là số nguyên dương và $s\gt t$.
Hãy xem xét tất cả các đoạn thẳng có độ dài $4$ với một điểm cuối trên đường $y = x$ và điểm cuối khác trên đường $y = 2x$. Tìm phương trình của quỹ tích trung điểm của các đoạn thẳng này.
Một tứ giác có một đỉnh trên mỗi cạnh của một hình vuông có độ dài bên cạnh $1$. Chứng minh rằng độ dài $a, b, c$ và $d$ của các cạnh của tứ giác thỏa mãn các bất đẳng thức $$
2 \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \leq 4
$$
a) Tìm tất cả các số nguyên dương có chữ số ban đầu $6$ sao cho số nguyên được tạo thành bằng cách xóa $6$ này là $1/25$ của số nguyên gốc.
b) cho thấy rằng không có số nguyên sao cho việc xóa chữ số đầu tiên tạo ra kết quả là $1/35$ của số nguyên gốc.
Cho đa thức $$
f(x) = x^{n} + a_{1} x^{n-1} + a_{2} x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_{n}
$$ với hệ số nguyên $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, và cũng cho rằng tồn tại bốn số nguyên riêng biệt $a, b, c$ và $d$ sao cho $$
f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 5
$$ cho thấy không có số nguyên $k$ mà $f(k) = 8$.
Các đỉnh của một $n$-GON thông thường được tô màu (mỗi đỉnh chỉ có một màu). Mỗi màu được áp dụng cho ít nhất ba đỉnh. Các đỉnh của bất kỳ màu nào tạo thành đa giác đều. Chứng minh rằng có hai màu được áp dụng cho cùng một số đỉnh.
Cho bất kỳ số nguyên dương $n$ nào, chứng tỏ rằng chúng ta có thể tìm thấy vô số số nguyên $m$ sao cho $m$ không có số không (khi được viết dưới dạng số thập phân) và tổng của Các chữ số của $m$ và $mn$ là như nhau.
Cho một vòng tròn, đường kính $AB$ và một điểm $C$ trên $AB$, chỉ ra cách xây dựng hai điểm $X$ và $Y$ trên vòng tròn như vậy rằng (1) $Y$ là sự phản chiếu của $X$ trong dòng $AB$, (2) $YC$ là vuông góc với $XA$.
$S$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương với các chữ số thập phân $n$ trở xuống và với tổng chữ số chẵn. $T$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương có chữ số thập phân $n$ trở xuống và tổng số lẻ. Chứng minh rằng tổng các lũy thừa thứ $k$ của các thành viên $S$ bằng tổng $T$ nếu $1 \leq k \lt n$.
Một phòng là một tam giác đều bên cạnh $100$ mét. Nó được chia thành các phòng $100$, tất cả các hình tam giác đều với các đồng hồ đo bên $10$. Mỗi bức tường nội thất giữa hai phòng có một cửa. Nếu bạn bắt đầu bên trong một trong các phòng và chỉ có thể đi qua từng cửa một lần, cho thấy rằng bạn không thể ghé thăm nhiều hơn các phòng $91$. Giả sử bây giờ tam giác lớn có cạnh $k$ và được chia thành $k^2$ các tam giác nhỏ theo các đường thẳng song song với các cạnh của nó. Một chuỗi là một chuỗi các tam giác, sao cho một tam giác chỉ có thể được bao gồm một lần và các tam giác liên tiếp có một cạnh chung. Số tam giác lớn nhất có thể trong một chuỗi là bao nhiêu?