a. bạn có thể sắp xếp các số $0, 1, \ldots, 9$ trên chu vi của một vòng tròn, sao cho sự khác biệt giữa mỗi cặp số liền kề là $3$, $4$ hoặc $5$? Ví dụ, chúng ta có thể sắp xếp các số $0, 1, \ldots, 6$ như vậy: $0, 3, 6, 2, 5, 1, 4$.
b. còn những con số $0, 1, \ldots, 13$ thì sao?
a. Các chữ số của một số tự nhiên được sắp xếp lại và số kết quả được thêm vào số ban đầu. Chứng minh rằng câu trả lời không thể là $99\ldots9$ (1999 nines).
b. Các chữ số của một số tự nhiên được sắp xếp lại và số kết quả được thêm vào số ban đầu để cho $10^{10}$. Chứng minh rằng số ban đầu được chia hết cho $10$.
Trong tam giác góc nhọn $ABC$, $AH$ là độ cao dài nhất ($H$ nằm trên $BC$), $M$ là Điểm giữa của $AC$ và $CD$ là một phân giác góc (với $D$ trên $AB$).
a. nếu $AH \leq BM$, chứng minh rằng góc $ABC \leq 60^\circ$.
b. Nếu $AH = BM = CD$, chứng minh $ABC$ là đều.
Bốn ngọn hải đăng được đặt tùy ý trong máy bay. Mỗi cái có một đèn tĩnh chiếu sáng một góc $90$. Chứng minh rằng các đèn có thể được quay sao cho ít nhất một đèn có thể nhìn thấy từ mỗi điểm của mặt phẳng.
$ABCD$ là một hình vuông đơn vị. Một đỉnh của hình thoi nằm ở bên $AB$, một đỉnh khác ở bên $BC$ và một đỉnh thứ ba ở bên $AD$. Tìm diện tích của tập hợp tất cả các vị trí có thể cho đỉnh thứ tư của hình thoi.
499 White Rooks và Black King được đặt trên bàn cờ $1000 \times 1000$. Các chiêu thức Rook và King cũng giống như trong cờ vua thông thường, ngoại trừ việc lấy không được phép và nhà vua được phép ở trong tầm kiểm soát. Bất kể tình huống ban đầu và bất kể di chuyển trắng như thế nào, Black King luôn luôn có thể:
a) vào kiểm tra (sau một số lần di chuyển hữu hạn);
b) di chuyển để ngoài một số động thái ban đầu, nó luôn được kiểm tra sau khi di chuyển;
c) di chuyển để ngoài một số động thái ban đầu, nó luôn được kiểm tra (ngay cả sau khi White đã di chuyển).
Độ dài tối đa có thể có của dãy số tự nhiên $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$ sao cho $x_{i} \leq 1998$ cho $i \geq 1$ và $x_{i} = |x_{i - 1} - x_{i - 2}|$ cho $i \geq 3$.
Một số tự nhiên $k$ có thuộc tính là nếu $k$ chia $n$, thì số thu được từ $n$ bằng cách đảo ngược thứ tự các chữ số của nó cũng là Chia hết cho $k$. Chứng minh rằng $k$ là ước của $99$.