MathNet 2026 — Phần 06

Một nhà thiết kế có kế hoạch trang trí lễ khai mạc cuộc thi IMO năm nay tại Romania với những dãy mặt đồng hồ màu. Mỗi mặt đồng hồ bao gồm mười hai hình chữ nhật màu được dán vào một đế tròn màu trắng, như minh họa bên dưới. áp dụng các quy tắc thiết kế sau: 1. Mỗi hình chữ nhật có màu xanh, vàng hoặc đỏ. 2. Cả ba màu phải được sử dụng ở đâu đó trên mặt đồng hồ. Hai mặt đồng hồ được coi là giống hệt nhau bất cứ khi nào có thể xoay để khớp với màu của mặt kia. Có bao nhiêu mặt đồng hồ riêng biệt có thể được tạo ra?

Giả sử $a_i \gt 0$, $i = 1, \dots, n$. Chứng minh rằng đa thức $$
p(x) = -1 + \sum_{i=1}^{n} a_i x^i
$$ có chính xác một gốc dương.

Tìm tất cả các cặp hàm $f, g : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ thỏa mãn nhận dạng $$
f(x+y) = f(x)g(1) + g(y), \quad \forall x, y \in \mathbb{Q}
$$ và phương trình $f(1) = 3$.

Cho $n$ là một số nguyên dương và xác định $$
f(j) = \binom{2j}{j} \cdot \binom{2n-2j}{n-j}, \quad j = 0, 1, \dots, n.
$$ chứng minh rằng
(a) $f(j) \ge f(j+1)$, nếu $0 \le j \lt n/2$;
(b) $f$ là lồi nghiêm ngặt, tức là $$
f(j+1) + f(j-1) \gt 2f(j), \quad j = 1, 2, \dots, n-1.
$$

Chúng tôi nói rằng một hình chữ nhật có độ dài cạnh $a$ và $b$ phù hợp với bên trong một hình chữ nhật có độ dài bên là $c$ và $d$ nếu một trong hai $(a \le c)$ và $(b \le d)$ hoặc $(a \le d)$ và $(b \le c)$. Ví dụ, một hình chữ nhật có độ dài bên $1$ và $5$ nằm bên trong một hình chữ nhật khác có độ dài bên là $1$ và $5$, và cũng phù hợp Bên trong một hình chữ nhật có độ dài bên cạnh $6$ và $2$. Giả sử $S$ là một bộ hình chữ nhật $2019$, tất cả đều có độ dài bên số nguyên giữa $1$ và $2018$. Cho thấy có ba hình chữ nhật $A$, $B$ và $C$ trong $S$ sao cho $A$ phù hợp với bên trong $B$ và $B$ phù hợp với $C$.

Một tam giác không suy biến được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng. Một tam giác được gọi là * đẹp * nếu nó không suy biến và các đỉnh của nó có tọa độ số nguyên $(x, y)$ sao cho $0 \le x \le 2018$ và $0 \le y \le 2018$. Gọi $V_n$ biểu thị số tam giác cân đẹp mà tọa độ của mỗi đỉnh thỏa mãn $y \le n$. Chứng minh rằng $$
V_{n+1} = 2V_n - 2V_{n-2} + V_{n-3} \quad \text{cho tất cả } n \gt 2018^2.
$$

Giả sử $a, b, c \gt 0$ và $\sqrt{a-b} + \sqrt{a-c} \gt \sqrt{b+c}$. Chứng minh rằng $a \gt \frac{3}{4}(b+c)$.

Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ của một tam giác đều $ABC$. Điểm $D$ nằm trên $CA$ mở rộng sao cho $A$ nằm giữa $D$ và $C$. Điểm $E$ nằm trên $AB$ mở rộng sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $E$, và $|MD| = |ME|$. Điểm $F$ là giao điểm của $MD$ và $AB$. Chứng minh rằng $\angle BFM = \angle BME$.

Tìm tất cả các hàm có giá trị thực $f$ thỏa mãn $$
f(2x + f(y)) + f(f(y)) = 4x + 8y
$$ cho tất cả các số thực $x$ và $y$.

Xác định một chuỗi $x_n : n = 1, 2, 3, \dots$ bởi $x_1 = 1$ và $x_n = x_{n-1} + \sqrt{n}$ cho $n \ge 2$. Chứng minh rằng: $$
\sum_{n=1}^{2018} \frac{1}{x_n} \lt 3.
$$

Trò chơi * tham lam * bắt đầu với cấu hình ban đầu của một hoặc nhiều đống đá. Người chơi 1 và người chơi 2 lần lượt loại bỏ đá, bắt đầu với người chơi 1. Ở mỗi lượt, người chơi có hai lựa chọn: * lấy một viên đá từ bất kỳ một viên nào trong số các cọc (một bước di chuyển đơn giản *); * Lấy một viên đá từ mỗi đống còn lại (một sự tham lam * di chuyển *). Người chơi đá cuối cùng sẽ thắng. Hãy xem xét hai cấu hình ban đầu sau:
(a) Có 2018 cọc, với 20 hoặc 18 viên đá trong mỗi cọc.
(b) Có bốn cọc, lần lượt là 17, 18, 19 và 20 viên đá. Trong mỗi trường hợp, hãy tìm một chiến lược thích hợp đảm bảo chiến thắng cho một trong những người chơi.

Giả sử $p \ge 1$ và $a$, $b$, $c$ là độ dài cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $$
2(a^p + b^p + c^p) \lt (a+b+c)(a^{p-1} + b^{p-1} + c^{p-1}) \le 3(a^p + b^p + c^p).
$$

Chứng minh rằng
$$
\sum_{k=0}^{n} (n + 1 - k) \sin((2k + 1)x) \geq 0, \quad \forall x \in [0, \pi].
$$

Tâm của tam giác $ABC$ là $I$, và $H$ là chân của đường vuông từ $I$ trên $AB$. Đường vuông góc từ $H$ trên $BC$ gặp $BC$ tại $E$, và nó gặp phân giác của $\angle ABC$ tại $D$. Đường vuông góc từ $A$ trên $BC$ gặp $BC$ tại $F$. Chứng minh rằng $\angle BAC = 2\angle EFD$.

Có các xô $2^{2018}$ được đặt trong một đường tròn. Vị trí của họ được đánh số từ $1$ đến $2^{2018}$ theo thứ tự của họ trong đường tròn. Ban đầu chỉ xô ở các vị trí $2018$ và $2019$ đầy nước, những cái khác rỗng. Trước khi trận đấu bắt đầu, John được phép đổ thêm bao nhiêu xô tùy thích mà anh ấy muốn đầy nước. Khi bắt đầu trò chơi, John được đưa ra một số nguyên $n$ ($0 \le n \lt 2018$) và hai xô nữa, một thùng rỗng và một thùng đầy nước. John sau đó sẽ di chuyển xung quanh đường tròn, bắt đầu từ vị trí $2^n$ và di chuyển về phía trước bởi các vị trí $2^n$ mỗi lần. Tại mỗi vị trí, anh ta đạt được trong suốt cuộc hành trình của mình, anh ta phải thay thế cái xô mà anh ta tìm thấy bằng một trong hai cái mà anh ta mang theo. Anh ta cần thay một cái xô rỗng bằng một cái đầy và một cái thùng đầy bằng một cái rỗng. Nếu anh ta không thể làm như vậy ở bất kỳ vị trí nào anh ta đạt được, anh ta đã thua trò chơi. John có thể lấp đầy các xô trước khi bắt đầu trò chơi theo cách mà anh ta sẽ không thua trò chơi, bất kể giá trị nào của $n$ anh ta sẽ được đưa ra và bất kể anh ta sẽ di chuyển trong đường tròn bao lâu?

Một hình thoi $ABCD$, với độ dài bên là $4$ và $\angle ABC = 60^\circ$, được gấp sao cho $B$ trùng với điểm giữa $H$ của $AD$ và nhàu. Chứng minh rằng chiều dài của nếp gấp là $\frac{1}{2}\sqrt{21}$.

Gọi $a$, $b$, $c$ là độ dài cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $$
2 (a^3 + b^3 + c^3) \lt (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2) \le 3 (a^3 + b^3 + c^3).
$$

Giả sử $x$ là một số thực và $\sin 3y = -\sin x$. Xác định tất cả các giá trị có thể có của $\sin y$.

Từ một điểm trên cạnh huyền của một tam giác vuông vuông góc được vẽ về hai cạnh còn lại. Nếu cạnh huyền có độ dài $4$ và hai đường vuông góc có độ dài một, hãy tìm diện tích của tam giác.

Cho $p$, $q$ là số thực. Hiển thị tồn tại $1 \le x \le 4$ sao cho $$
|px + q + \frac{8}{x}| \ge 1
$$