Ngân hàng câu hỏi AIME

Tìm tổng các số hạng thứ $10$của tất cả các dãy số học có số hạng đầu tiên bằng $4$ và bao gồm cả $24$ và $34$ làm số hạng.

Hình bên dưới hiển thị một lưới các ô vuông $10$ liên tiếp. Mỗi hình vuông có một đường chéo nối đỉnh dưới bên trái với đỉnh trên bên phải. Một con bọ di chuyển dọc theo các đoạn thẳng từ đỉnh này sang đỉnh khác, không bao giờ đi qua cùng một đoạn hai lần và không bao giờ di chuyển từ phải sang trái dọc theo đoạn ngang hoặc đoạn chéo. Đặt $N$ là số đường dẫn mà lỗi có thể đi từ góc dưới bên trái $(A)$ đến góc trên bên phải $(B).$ Một đường dẫn như vậy từ $A$ đến $B$ được hiển thị bằng các đoạn đường dày trong hình. Tìm $\sqrt{N}.$

Giả sử $ABCDE$ là một hình ngũ giác không lồi với các góc trong $\angle A = \angle E = 90^\circ$ và $\angle B = \angle D = 45^\circ.$ Giả sử rằng $DE \lt AB,$ $AE = 20,$ $BC = 14\sqrt{2},$ và các điểm $B,$ $C,$ và $D$ nằm cùng một phía của đường thẳng $AE.$ Giả sử thêm rằng $AB$ là một số nguyên với $AB \lt 2026$ và diện tích của ngũ giác $ABCDE$ là một số nguyên bội số của $16.$ Tìm số các giá trị có thể có của $AB.$

Đối với mỗi số nguyên dương $n$ đặt $f(n)$ là giá trị của chữ số cơ số mười $n$ được xem trong cơ sở $b,$ trong đó $b$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn chữ số lớn nhất trong $n.$ Ví dụ: nếu $n = 72,$ thì $b = 8,$ và $72$ dưới dạng chữ số trong cơ số $8$ bằng $7 \cdot 8 + 2 = 58;$ do đó $f(72) = 58.$ Tìm số số nguyên dương $n$ nhỏ hơn $1000$ sao cho $f(n) = n.$

Một chiếc bình chứa $n$ viên bi. Mỗi viên bi có màu đỏ hoặc xanh lam và có các viên bi ít nhất $7$ cho mỗi màu. Khi $7$ viên bi được lấy ngẫu nhiên từ bình mà không thay thế, xác suất có chính xác $4$ trong số chúng có màu đỏ bằng với xác suất có chính xác $5$ trong số chúng có màu đỏ. Tìm tổng của năm giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho điều này có thể xảy ra.

Tìm tổng của tất cả các số thực $r$ sao cho có ít nhất một điểm mà đường tròn có bán kính $r$ tâm tại $(4, 39)$ tiếp xúc với parabol có phương trình $2y = x^2 - 8x + 12.$

Một con súc sắc sáu mặt tiêu chuẩn được tung ra nhiều lần. Mỗi lần xúc xắc đọc $1$ hoặc $2,$ Alice nhận được một đồng xu; mỗi lần nó đọc $3$ hoặc $4,$ Bob nhận được một đồng xu; và mỗi lần nó đọc $5$ hoặc $6,$ Carol sẽ nhận được một đồng xu. xác suất mà Alice và Bob mỗi người nhận được ít nhất hai đồng xu trước khi Carol nhận được bất kỳ đồng xu nào có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $100m + n.$

tam giác cân $\triangle ABC$ có $AB = BC.$ Đặt $I$ là tâm điểm của $\triangle ABC.$ Chu vi của $\triangle ABC$ và $\triangle AIC$ tỷ lệ với $125 : 6,$ và tất cả các cạnh của cả hai tam giác đều có độ dài nguyên. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $AB.$

Đặt $S$ biểu thị giá trị của tổng vô hạn $$
\frac{1}{9} + \frac{1}{99} + \frac{1}{999} + \frac{1}{9999} + \cdots
$$ Tìm số dư khi số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $10^{100} S$ chia cho $1000.$

Giả sử $\triangle ABC$ là một tam giác với $D$ trên $\overline{BC}$ sao cho $\overline{AD}$ chia đôi $\angle BAC.$ Giả sử $\omega$ là đường tròn đi qua $A$ và tiếp tuyến với đoạn $\overline{BC}$ tại $D.$ Đặt $E \ne A$ và $F \ne A$ lần lượt là giao điểm của $\omega$ với các đoạn $\overline{AB}$ và $\overline{AC},$. Giả sử rằng $AB = 200,$ $AC = 225,$ và tất cả $AE,$ $AF,$ $BD,$ và $CD$ là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của $BC.$

Tìm số nguyên lớn nhất $n$ sao cho đa thức bậc ba $$
x^3 - \frac{n}{6}x^2 + (n - 11)x - 400
$$ có nghiệm $\alpha^2,$ $\beta^2,$ và $\gamma^2,$ trong đó $\alpha,$ $\beta,$ và $\gamma$ là các số phức và có chính xác bảy giá trị khác nhau có thể có cho $\alpha + \beta + \gamma.$

Xét một tứ diện có hai mặt tam giác cân có độ dài các cạnh $5\sqrt{10},$ $5\sqrt{10},$ và $10$ và hai mặt tam giác cân có độ dài các cạnh class="notranslate">$5\sqrt{10},$ $5\sqrt{10},$ và $18.$ Bốn đỉnh của tứ diện nằm trên một hình cầu có tâm $S,$ và bốn mặt của tứ diện tiếp xúc với một hình cầu có tâm $R.$ Khoảng cách $RS$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và class="notranslate">$n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Gọi tập hợp hữu hạn các số nguyên $S$ và $T$ *cousins* nếu

• $S$ và $T$ có cùng số phần tử,

• $S$ và $T$ không khớp nhau và

• các phần tử của $S$ có thể được ghép nối với các phần tử của $T$ sao cho các phần tử trong mỗi cặp khác nhau chính xác $1.$

Ví dụ: $\{1, 2, 5\}$ và $\{0, 3, 4\}$ là anh em họ. Giả sử rằng tập $S$ có chính xác $4040$ anh em họ. Tìm số phần tử ít nhất mà tập hợp $S$ có thể có.

Đối với số nguyên $a$ và $b,$ đặt $a \circ b = a - b$ nếu $a$ là số lẻ và $b$ là số chẵn và $a \circ b = a + b$ nếu ngược lại. Tìm số dãy $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots,$ $a_n$ của các số nguyên dương sao cho $$
a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = 12
$$ và $$
a_1 \circ a_2 \circ a_3 \circ \cdots \circ a_n = 0,
$$ trong đó các phép toán được thực hiện từ trái sang phải; nghĩa là, $a_1 \circ a_2 \circ a_3$ có nghĩa là $(a_1 \circ a_2) \circ a_3.$

Tìm số thứ tự $7$-tuple $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_7)$ có các thuộc tính sau:

• $a_k \in \{1, 2, 3\}$ cho tất cả $k.$

• $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ $+ a_5 + a_6 + a_7$ là bội số của $3.$

• $a_1a_2a_4$ $+ a_2a_3a_5$ $+ a_3a_4a_6$ $+ a_4a_5a_7$ $+ a_5a_6a_1$ $+ a_6a_7a_2$ $+ a_7a_1a_3$ là một bội số của $3.$

Patrick bắt đầu đi bộ với tốc độ không đổi dọc theo con đường thẳng từ trường đến công viên. Một giờ sau khi Patrick rời đi, Tanya bắt đầu chạy với tốc độ không đổi $2$ dặm một giờ, nhanh hơn tốc độ Patrick đi bộ, đi theo con đường thẳng từ trường đến công viên. Một giờ sau khi Tanya rời đi, José bắt đầu đạp xe với tốc độ không đổi $7$ dặm một giờ nhanh hơn Tanya chạy, đi theo cùng một con đường thẳng từ trường đến công viên. Cả ba người đều đến công viên cùng một lúc. Khoảng cách từ trường đến công viên là $\frac{m}{n}$ dặm, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Tìm số lượng palindrome số nguyên dương được viết trong cơ số $10,$ không có chữ số 0 và các chữ số của chúng có tổng bằng $13.$ Ví dụ: $42124$ có các thuộc tính này. Hãy nhớ lại rằng palindrome là một số có cách biểu thị giống nhau từ trái sang phải cũng như từ phải sang trái.

Một bán cầu có bán kính $200$ nằm trên một đĩa tròn nằm ngang có bán kính $200,$ và bán cầu và đĩa có cùng tâm. Đặt $\mathcal{T}$ là vùng các điểm $P$ trong đĩa sao cho một quả cầu có bán kính $42$ có thể được đặt trên đỉnh đĩa tại $P$ và nằm hoàn toàn bên trong bán cầu. diện tích của $\mathcal{T}$ chia cho diện tích của đĩa là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$

Tìm số số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng $100$ bằng $a + b + ab$ với một số phương án gồm các số nguyên dương phân biệt $a$ và $b.$

Một mặt phẳng chứa các điểm $A$ và $B$ với $AB = 1.$ Điểm $A$ được quay trong mặt phẳng ngược chiều kim đồng hồ một góc nhọn $\theta$ xung quanh điểm $B$ đến điểm $A'.$ Sau đó $B$ được quay trong mặt phẳng theo chiều kim đồng hồ qua góc $\theta$ quanh điểm $A'$ đến điểm $B'.$ Giả sử $AB' = \frac{4}{3}.$ Giá trị của $\cos\theta$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$