Ngân hàng câu hỏi AIME 1992

Tìm tổng của tất cả các số hữu tỷ dương nhỏ hơn $10$ và có mẫu số $30$ khi viết ở số hạng thấp nhất.

Một số nguyên dương được gọi là tăng dần nếu trong biểu diễn thập phân của nó có ít nhất hai chữ số và mỗi chữ số nhỏ hơn bất kỳ chữ số nào ở bên phải nó. Có bao nhiêu số nguyên dương tăng dần?

Một vận động viên quần vợt tính tỷ lệ thắng của mình bằng cách chia số trận cô đã thắng cho tổng số trận cô đã chơi. Vào đầu ngày cuối tuần, tỷ lệ thắng của cô ấy chính xác là $0.500.$ Trong cuối tuần, cô ấy chơi bốn trận, thắng ba và thua một. Vào cuối tuần, tỷ lệ thắng của cô ấy lớn hơn $0.503.$ Số trận thắng lớn nhất mà cô ấy có thể thắng trước khi cuối tuần bắt đầu là bao nhiêu?

Trong Tam giác Pascal, mỗi phần tử là tổng của hai phần tử phía trên nó. Một số hàng đầu tiên của hình tam giác được hiển thị bên dưới.

$$
\begin{array}{rl}0:&1\\1:&1\quad1\\2:&1\quad2\quad1\\3:&1\quad3\quad3\quad1\\4:&1\quad4\quad6\quad4\quad1\\5:&1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1\\6:&1\quad6\quad15\quad20\quad15\quad6\quad1\end{array}
$$

Hàng nào của Tam giác Pascal có ba phần tử liên tiếp xuất hiện theo tỷ lệ $3:4:5?$

Đặt $S$ là tập hợp tất cả các số hữu tỷ $r,$ $0\lt r\lt1,$ có khai triển thập phân lặp lại dưới dạng $$
0.abcabcabc\ldots=0.\overline{abc},
$$ trong đó các chữ số $a,$ $b,$ và $c$ không nhất thiết phải khác biệt. Để viết các phần tử của $S$ dưới dạng phân số tối giản thì cần bao nhiêu tử số khác nhau?

Có bao nhiêu cặp số nguyên liên tiếp trong $\{1000,1001,1002,\ldots,2000\}$ không cần ghi nhớ khi cộng hai số nguyên?

Các mặt $ABC$ và $BCD$ của khối tứ diện $ABCD$ gặp nhau ở một góc $30^\circ.$ diện tích của mặt $ABC$ là $120,$ diện tích của mặt $BCD$ là $80,$ và $BC=10.$ Tìm thể tích của tứ diện.

Đối với bất kỳ dãy số thực nào $A=(a_1,a_2,a_3,\ldots),$ xác định $\Delta A$ là dãy $(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,\ldots),$ có số hạng thứ $n$ là $a_{n+1}-a_n.$ Giả sử rằng tất cả các số hạng của dãy $\Delta(\Delta A)$ là $1,$ và $a_{19}=a_{92}=0.$ Tìm $a_1.$

hình thang $ABCD$ có các cạnh $AB=92,$ $BC=50,$ $CD=19,$ và $AD=70,$ với $AB$ song song với $CD.$ Một đường tròn có tâm $P$ bật $AB$ được vẽ tiếp tuyến với $BC$ và $AD.$ Cho rằng $AP=\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $m+n.$

Hãy xem xét vùng $A$ trong mặt phẳng phức bao gồm tất cả các điểm $z$ sao cho cả $\frac{z}{40}$ và $\frac{40}{\overline z}$ đều có phần thực và phần ảo nằm giữa $0$ và $1,$. Số nguyên nào gần nhất với diện tích của $A?$

Các đường $l_1$ và $l_2$ đều đi qua gốc tọa độ và tạo các góc phần tư thứ nhất lần lượt là $\frac{\pi}{70}$ và $\frac{\pi}{54}$ radian với trục $x$ dương. Đối với bất kỳ dòng nào $l,$ phép biến đổi $R(l)$ tạo ra một dòng khác như sau: $l$ được phản ánh trong $l_1,$ và dòng kết quả được phản ánh trong $l_2.$ Giả sử $R^{(1)}(l)=R(l)$ và $R^{(n)}(l)=R(R^{(n-1)}(l)).$ Cho rằng $l$ là dòng $y=(\frac{19}{92})x,$ tìm số nguyên dương nhỏ nhất $m$ thỏa mãn $R^{(m)}(l)=l.$

Trong trò chơi Chomp, hai người chơi lần lượt cắn từ một lưới $5$-by-$7$ gồm các ô vuông đơn vị. Để cắn, người chơi chọn một trong các ô còn lại, sau đó loại bỏ (“ăn”) tất cả các ô trong góc phần tư được xác định bởi cạnh trái (kéo dài lên trên) và cạnh dưới (mở rộng sang phải) của hình vuông đã chọn. Ví dụ: vết cắn được xác định bởi hình vuông được tô bóng trong sơ đồ sẽ loại bỏ hình vuông được tô bóng và bốn hình vuông được đánh dấu bằng $\times.$ (Các hình vuông có hai cạnh chấm trở lên đã bị xóa khỏi bảng gốc trong các lần di chuyển trước.)



Mục tiêu của trò chơi là khiến đối thủ phải ăn miếng cuối cùng. Sơ đồ hiển thị một trong nhiều tập hợp con của tập hợp các ô vuông đơn vị $35$ có thể xuất hiện trong trò chơi Chomp. Có tất cả bao nhiêu tập con khác nhau? Bao gồm bảng đầy đủ và bảng trống trong số đếm của bạn.

Tam giác $ABC$ có $AB=9$ và $BC:AC=40:41.$ Lớn nhất diện tích mà tam giác này có thể có là bao nhiêu?

Trong tam giác $ABC,$ $A',$ $B',$ và $C'$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,$ $AC,$ và $AB,$. Cho rằng $AA',$ $BB',$ và $CC'$ đồng quy tại điểm $O,$ và $$
\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92,
$$ tìm $$
\frac{AO}{OA'}\cdot\frac{BO}{OB'}\cdot\frac{CO}{OC'}.
$$

Xác định một số nguyên dương $n$ là một giai thừa đuôi nếu có một số nguyên dương $m$ sao cho biểu diễn thập phân của $m!$ kết thúc bằng chính xác $n$ số 0. Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn $1992$ không phải là giai thừa?