Năm người đàn ông và chín người phụ nữ đứng cách đều nhau xung quanh một vòng tròn theo thứ tự ngẫu nhiên. xác suất mà mỗi người đàn ông đứng đối diện hoàn toàn với một người phụ nữ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Các số thực dương $b \ne 1$ và $n$ thỏa mãn các phương trình $$
\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n}
$$ và $$
b \cdot \log_b n = \log_b (bn).
$$ Giá trị của $n$ là $\frac{j}{k},$ trong đó $j$ và $k$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $j + k.$
Một mặt phẳng chứa $40$ đường thẳng, không có $2$ đường nào song song. Giả sử rằng có $3$ điểm trong đó chính xác $3$ đường giao nhau, $4$ điểm nơi chính xác $4$ đường giao nhau, $5$ điểm nơi chính xác $5$ đường giao nhau, $6$ điểm chính xác $6$ đường giao nhau và không có điểm nào có nhiều hơn $6$ đường giao nhau. Tìm số điểm mà tại đó các đường thẳng $2$ giao nhau.
Tổng của tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho $\frac{13!}{m}$ là một số chính phương có thể được viết là $2^a 3^b 5^c 7^d 11^e 13^f,$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ và $f$ là số nguyên dương. Tìm $a + b + c + d + e + f.$
Alice biết rằng $3$ thẻ đỏ và $3$ thẻ đen sẽ được tiết lộ cho cô ấy lần lượt theo thứ tự ngẫu nhiên. Trước khi mỗi lá bài được lật ra, Alice phải đoán màu của nó. Nếu Alice chơi tối ưu, số quân bài dự kiến cô ấy đoán đúng là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Gọi một số nguyên dương $n$ *extra-distinct* nếu số dư khi $n$ được chia cho $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ và $6$ là khác nhau. Tìm số số nguyên dương đặc biệt nhỏ hơn $1000.$
Hình thoi $ABCD$ có $\angle BAD \lt 90^\circ.$ Có một điểm $P$ trên đường tròn nội tiếp hình thoi sao cho khoảng cách từ $P$ đến các đường thẳng $DA,$ $AB,$ và $BC$ là $9,$ $5,$ và $16,$ tương ứng. Tìm chu vi của $ABCD.$
Tìm số đa thức bậc ba $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên trong $\{-20, -19, -18, \ldots, 18, 19, 20\},$ sao cho tồn tại một số nguyên duy nhất $m \ne 2$ với $p(m) = p(2).$
Tồn tại một số nguyên dương duy nhất $a$ mà tổng $$
U = \sum_{n=1}^{2023} \left\lfloor \frac{n^2 - na}{5} \right\rfloor
$$ là một số nguyên nằm giữa $-1000$ và $1000.$ Với $a,$ duy nhất đó, hãy tìm $a + U.$
(Lưu ý rằng $\lfloor x \rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$)
Tìm số tập con của $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ chứa đúng một cặp số nguyên liên tiếp. Ví dụ về các tập hợp con như vậy là $\{\mathbf{1}, \mathbf{2}, 5\}$ và $\{1, 3, \mathbf{6}, \mathbf{7}, 10\}.$
Giả sử $\triangle ABC$ là một tam giác đều có độ dài cạnh $55.$ Điểm $D,$ $E,$ và $F$ lần lượt nằm trên $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ và $\overline{AB},$ với $BD = 7,$ $CE = 30,$ và $AF = 40.$ Điểm $P$ bên trong $\triangle ABC$ có tính chất là $$
\angle AEP = \angle BFP = \angle CDP.
$$ Tìm $\tan^2(\angle AEP).$
Mỗi mặt của hai hình bình hành không bằng nhau là một hình thoi có đường chéo có độ dài $\sqrt{21}$ và $\sqrt{31}.$ Tỷ lệ giữa thể tích của khối lớn hơn trong hai khối đa diện với thể tích của khối nhỏ hơn là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$ Hình bình hành là một khối có sáu mặt hình bình hành như hình bên dưới.
Đồng hồ analog sau đây có hai kim có thể di chuyển độc lập với nhau.
Ban đầu, cả hai tay chỉ vào số $12.$ Đồng hồ thực hiện một chuỗi chuyển động của tay sao cho trên mỗi chuyển động, một trong hai tay di chuyển theo chiều kim đồng hồ đến số tiếp theo trên mặt đồng hồ trong khi tay còn lại không chuyển động.
Đặt $N$ là số chuỗi chuyển động của $144$ sao cho trong chuỗi, mọi vị trí có thể có của bàn tay xuất hiện chính xác một lần và khi kết thúc $144$ chuyển động, các bàn tay đã trở về vị trí ban đầu. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$
